系統級仿真是產品開發的重要組成部分，這種仿真包括與設備模型相結合的電路組件。Saber是一種系統級仿真工具，開發中可以將MOR電熱模型轉換為MAST模型，并在Saber中進行電熱仿真。模型簡化在行業中被用于直接從有限元工具中獲得緊湊模型。

本文概述了以下主題，并說明了在 Saber 中執行系統級電熱仿真的方法：

※ 狀態空間建模

※ 有限元分析

※ 模型降階

※ 用于電熱仿真的MOR矩陣

一、狀態空間模型簡介

在控制工程中，狀態空間表示的是物理系統的數學模型，它由一階微分方程相關的一組輸入、輸出和狀態變量組成。系統的狀態可以表示為該空間內的向量。為了從輸入、輸出和狀態的數量中抽象出來，這些變量表示為向量。此外，如果動態系統是線性的、時間恒定的和有限維的，那么微分和代數方程可以寫成矩陣形式。

線性系統

線性系統的最通用狀態空間可以用以下形式表示，有M輸入、R輸出和N狀態變量：

圖1 線性系統的狀態空間表示

A - 狀態矩陣 A。行數與狀態數相同的平方實值或復值矩陣。（n × n 矩陣，其中 n 是狀態數）

B - 實值或復值矩陣，行數與狀態數相同，列數與輸入數相同。(n × m矩陣，其中m為輸入數)

C - 實值或復值矩陣，其行數與輸出數相同，列數與狀態數相同。(r × n矩陣，其中r為輸出數)

D - 實值或復值矩陣，輸出行數和輸入列數相同。(r-by-m矩陣)

E - E矩陣用于隱式(描述符)狀態空間模型。默認情況下，e =[]，這意味著狀態方程是顯式的。為了指定一個隱式狀態方程E dx/dt = Ax + Bu，將這個屬性設為與a相同大小的方陣。

有關如何在不同域中派生的狀態空間模型的一些示例，請參閱此鏈接。

二、有限元分析

有限元分析(FEA)是可用于求解偏微分方程的最強大的數值方法之一，它適用于復雜的形狀。該過程將復雜形狀細分為許多更簡單的形狀，在這些形狀上可以輕松求解復雜的微分方程，然后將所有更簡單的形狀“連接”在一起，確保元素間邊界的兼容性和平衡。該方法可用于結構分析、動力學、振動、流體流動、熱力學、聲學、靜電學、電氣和流體網絡、電子學等。

熱電應用是多樣的而復雜的，通常需要一個完整的三維(3-D)數值分析。有限元法是求解PCB板熱分布的一種有效方法。要應用有限元法，必須有以下方面的詳細資料:

a. 設計PCB的幾何形狀。

b. 材料特性

c. 產生熱量的位置和數量

d. 可選擇的冷卻類型和數量

通過定義整個信息，可以通過將其簡化為數學關系來對實際問題進行建模。有很多方法可以對這個問題進行建模并研究PCB上的熱量分布和散熱。有限元模型是高維的，時間積分是不可行的。系統級仿真的常見做法是采用一個緊湊的或行為級的設備模型。這樣的模型是低維的，但可以很好地逼近動力響應。MOR (Model Order Reduction),是一個軟件，它讀取系統矩陣，運行模型縮減算法，然后寫出縮減矩陣。簡化后的矩陣可用于制作Saber MAST和VHDL-AMS中的模板

三、模型降階

模型簡化或模型階簡化是一種數學理論，用于為常微分方程 (ODE) 系統找到低維近似。主要思想是高維狀態向量實際上屬于低維子空間，如圖2所示。

圖2 低維子空間的概念

在已知低維子空間的條件下，常微分方程可以投影到其上。圖3顯示了ode線性系統的情況。這個投影給了我們一個所需的低維近似。

圖3 將一個ode系統投影到一個低維子空間上

對于熱分析，簡化的低階系統作為瞬態熱方程的狀態空間表示給出，其狀態向量為廣義變量 z、演化矩陣 E 和 A、輸入矩陣 B 和輸出矩陣 C。矢量 TJ 包括所有晶體管結溫。所需的狀態變量數量由誤差估計程序確定。

對于熱分析，將低階系統簡化為瞬態熱方程的狀態空間表示形式，其狀態向量為廣義變量z，演化矩陣E和A，輸入矩陣B和輸出矩陣C。矢量Tj包含所有晶體管結溫度。所需的狀態變量數目由誤差估計程序確定。

四、用于電熱仿真的 MOR 矩陣

傳統上，RC熱網絡是為瞬態熱仿真而開發的。創建RC熱網絡的過程是半自動的。這意味著首先用戶必須創建網絡拓撲，這取決于熱源的數量和結構的復雜性。然后，將傳遞函數參數與由有限元模型測量或計算得到的結構階躍響應進行擬合，自動提取RC網絡的參數。

使用模型簡化可以更簡單地解決熱問題，因為傳熱偏微分方程的離散化會得到一階常微分方程組。模型簡化首先要用有限元程序創建一個精確的高維熱模型。。

微系統內溫度分布的 3 維傳熱方程示例如下：

這里，K是熱導率，Cp是比熱容，ρ是質量密度，T是溫度分布，Q是發熱率。

在空間上進行離散化，得到常微分方程組。

這里，-K 是由于附加的對流項，傳導性矩陣從單純傳導熱流的對稱矩陣變為非對稱矩陣，C是熱電容（K和C是系統矩陣），T是離散化過程中節點處的未知溫度，Fi是第i個熱源對應的載荷向量，ui是輸入函數，即第i個熱功率如何隨時間變化。

上述方程可以直接轉換為類RC網絡以用于聯合電熱模擬，但狀態向量T的維數通常太高而無法在實踐中利用這個機會。因此，首先應該推導出一個緊湊的熱模型。

模型縮減的一個思路是找到一個低維子空間，以可接受的精度描述狀態向量軌跡。

也就是說，假設誤差向量?很小。矩陣V描述了從廣義坐標z的低維子空間到未知溫度的原始向量T的變換，它的列數等于低維子空間的維數。當找到子空間V時，投影得到低維常微分方程組。

這里

MOR4ANSYS 可用于自動生成降階模型。它從ANSYS二進制文件中讀取原始系統的系統矩陣，并執行Arnoldi算法以獲得指定的最大階數的簡化模型。通過將結果與ANSYS 仿真進行比較來選擇最佳順序。結果是簡化矩陣Kr和Cr、載荷向量Fr,i和變換矩陣V。

五、具體操作

1、將MOR矩陣轉換為MAST模型

降階熱網絡的演化：

我們可以將熱MOR文件轉換為Mast模型，其中狀態空間公式 dX/dt=AX+BU 通常從 *.sml 文件中給出（已經進行了矩陣求逆）。

或者我們可以直接從MOR矩陣 mor.A、mor.B、mor.C、mor.E創建Mast模型，其中狀態空間公式包括E矩陣，EdX/dt=AX+BU。本文采用這種方法。

輸入向量U實際上對應于芯片上的有源器件產生的熱流（而不是有源器件的溫度）。有源器件的溫度是狀態空間公式的輸出向量 Y (Y=CX)。

轉換后的模型包括一個參考熱引腳，該引腳將連接到提供環境溫度偏移（例如 25°C）的本體溫度源。

在此基礎上，創建了腳本“mor”。要讓此腳本生成 MAST 模型，需要設置以下輸入。

※ MOR 矩陣文件

※ 模型名稱

※ 輸入端口列表

※ 輸出端口列表

這些輸入端口和輸出端口的值通常可以在MOR矩陣給出的mor.B.names 和 mor.C.names 文件中找到。

2、將MOR模型轉換為MAST的步驟：

第一步：下載 隨附的mor.tlib和mor.tndx文件。

第二步：用A、B、C、E矩陣生成MAST模型的aim包。將上述兩個文件復制到$INSTALL/lib/aim目錄下。

第三步：下載并解壓mor_model _example_simple.zip 文件。其中包含用于轉換的“MOR_files”文件夾下的示例 MOR 矩陣以及用于電熱仿真的 MOR 模型的仿真示例。

第四步：進入SaberRD命令窗口，運行以下命令，更改工作目錄路徑為MOR_files目錄（cd D:/SaberExample/mor_model_example_simple/MOR_files）。

第五步：如下設置變量值并運行命令生成“mor_example.sin”：

設置模型 mor_example

設置輸入 [list port1]

設置輸出 [list port1 port2 port3 port4]

設置 E_file mor.E

設置 A_file mor.A

設置 B_file mor.B

設置 C_file mor.C

MOR:GenerateMAST **model **inputs **outputs **E_file **A_file **B_file $C_file

第六步：“*.sin”文件在 MOR 文件以給定名稱保存的同一位置創建。檢查模型是否存在任何差異。

第七步：為這個模型創建一個符號。

第八步：將此模型和符號復制到工作目錄中，然后繼續測試模型并進行電熱仿真（在這種情況下，轉換后的模型已經在測試文件夾中可用）。實際上示例“test_mor_simple.ai_dsn”和“test_mor_simple_electro_thermal.ai_dsn”已經提供，包含在“mor_model_example_simple”文件夾中以便理解。

第九步：將熱流源或溫度源相應地連接到每個端口并運行仿真以測試模型。分別使用提供的實驗“test_mor_example.ai_expt”、“test_mor_electro_thermal.ai_expt”運行仿真并顯示結果，如下所示。

第十步：你可以使用此aim包根據上述步驟從具有不同輸入和輸出數量的熱MOR文件生成MAST模型。

3、使用降階模型仿真節點處的溫度

圖4 測試 MOR2MAST 轉換模型"test_mor_simple.ai_dsn原理圖

在測試電路中，我們通過端口 1 將熱量泵入網絡。由于熱網絡在端口1有一個輸入電阻，同時還有一些局部存儲（分布式熱電容），因此熱量在整個網絡中擴散，最終延遲到達其他端口并導致溫度升高。

除了其他端口，熱量還通過遠處的環境溫度散熱片散逸，該散熱片對應于FEA側的恒溫狄氏邊界條件。這就是t_ref端口的作用，它充當溫度偏移量。

如果我們不添加ref引腳，如果所有局部設備都是發熱源，那么在這些節點處計算的溫度將參考零而不是環境溫度。一旦參考引腳連接到溫度源，流經該溫度源的熱量就是通過邊界表面輻射的能量。

圖5 給定輸入的測試模型結果

該模型現在可以與有源設備連接以運行電熱仿真。該模型有 4 個熱端口，其中一個用于連接代表 FEA 邊界條件的環境溫度源 (t_ref)。請注意，局部設備可以吸收或產生熱量。像 MOSFET 或二極管這樣的有源器件會產生熱量。低于整體網絡溫度（包括環境溫度）的散熱器或溫度源會吸收熱量。您還會遇到沒有明確的溫度或熱量驅動因素的情況。

MOSFET 或 IGBT 等有源器件根據器件中消耗的瞬時電功率 (v(t)*i(t)) 產生熱量；這種熱量將導致設備熱連接處的溫度升高，進而動態影響設備的電氣特性及其產生的熱量。電熱系統成為一個閉環耦合，由仿真器解決逐次解決。

4、使用降階模型來模擬電路應用中的結溫的電熱仿真

按照慣例，可以使用有源器件數據表中的 Zth 曲線來模擬結殼溫度。環境溫度升高的情況只能使用熱模型來計算。

圖6 PCB上有散熱器的有源器件

圖7 動態熱MOSFET模型

動態熱MOSFET模型允許自加熱改變Rdson, Vth和其他溫度相關的特性模型。這樣可以實現閉環仿真，獲得較高的精度。

下面的示例顯示了用于檢測給定應用的IGBT結溫的仿真。通用 IGBT 模型是使用 SaberRD 的 IGBT 工具構建的。使用數據表曲線的 IGBT 模型也可以基于所使用的組件來構建。

該模型還提供了一個內置的 RC Cauer 網絡來對數據表中的 Zth 曲線進行建模。僅使用 Zth 曲線的局限性在于它只給出了從結到外殼的溫升，這里忽略了外殼到環境的溫升。

圖8 SaberRD的IGBT器件建模工具

下面的示意圖用于使用和不使用 MOR2MAST 轉換模型進行電熱仿真，端口根據用于 FEA 的 PCB 模型連接。

圖9 有和沒有連接到IGBT的熱MOR模型結果比較

熱MOR仿真結果顯示IGBT端口的溫升高于沒有PCB熱模型的常規模型。這里MOR模型不能被解釋為散熱器，但可以是導致最壞情況溫度的熱源。

此示例是根據在線提供的隨機矩陣創建的。它僅用于展示如何使用 MOR2Mast 轉換模型連接回有源設備并使用Saber 進行電熱仿真。