本文介紹了基礎(chǔ)統(tǒng)計分布的重要特征，并說明了概率密度函數(shù)的重要性。

本文是我們關(guān)于電氣工程統(tǒng)計的系列文章的續(xù)篇。前兩篇文章討論了統(tǒng)計分析和統(tǒng)計性描述，為我們的討論奠定了基礎(chǔ)。

然后，我們研究了信號處理中的平均偏差，標(biāo)準(zhǔn)偏差和方差-在計算標(biāo)準(zhǔn)偏差時要特別注意樣本量補償。在上一篇文章中，我們通過探索標(biāo)準(zhǔn)差與均方根值的關(guān)系來進一步推斷我們對標(biāo)準(zhǔn)差的理解。在本文中，我們將介紹正態(tài)分布在電氣工程中的位置，特別是在評估概率密度函數(shù)中。

什么是正態(tài)分布？

如果您反復(fù)測量一個或多或少隨機變化的量（噪聲信號中的電壓電平，47kΩ電阻器的實際電阻值，工程等級的測試分?jǐn)?shù)，草坪上的草葉長度等），隨著越來越多的數(shù)據(jù)積累，值的分布可能會逐漸類似于以下所示的形狀。

表示正態(tài)分布或高斯分布的直方圖。

這稱為正態(tài)分布或高斯分布。它遵循熟悉的鐘形曲線形狀，但是使用名稱“正態(tài)”或“高斯”而不是“鐘形曲線”非常重要，因為其他類型的分布具有相似的形狀。在進行統(tǒng)計分析時，在工程，物理科學(xué)和社會科學(xué)領(lǐng)域研究的大量現(xiàn)象將產(chǎn)生正態(tài)分布。

正態(tài)分布的特征

正態(tài)分布是一種數(shù)學(xué)上定義的關(guān)系，用于描述數(shù)據(jù)集中的值，而現(xiàn)實生活中的測量值隨著樣本量的增加而近似于這種關(guān)系。讓我們看一下正態(tài)分布的一些重要特征。

給定正態(tài)分布的特定形狀完全由均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差定義。換句話說，如果您知道正態(tài)分布數(shù)據(jù)集的平均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差，則可以繪制直方圖的形狀。

平均值確定曲線中心的位置，標(biāo)準(zhǔn)偏差確定其表觀寬度。在上面顯示的分布中，平均值為0，標(biāo)準(zhǔn)偏差為5。

盡管從理論上講，高斯曲線延伸到正和負(fù)無窮大，但是當(dāng)值在均值之上或之下大于約3個標(biāo)準(zhǔn)偏差時，預(yù)期的出現(xiàn)次數(shù)將變得非常小。

直方圖和概率密度函數(shù)

如果我們?yōu)樽裱龖B(tài)分布的變量收集了大量數(shù)據(jù)，則可以將這些數(shù)據(jù)顯示為直方圖，并且將具有高斯曲線形狀。另一方面，如果我們知道數(shù)據(jù)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，則可以畫出與我們的經(jīng)驗觀察值相對應(yīng)的概率密度函數(shù)。

為此，我們使用以下公式：

其中，μ是平均值，σ是標(biāo)準(zhǔn)偏差。

這是平均值為0，標(biāo)準(zhǔn)偏差為5的正態(tài)分布變量的概率密度函數(shù)圖。

正態(tài)分布變量的圖密度函數(shù)。在這種情況下，平均值為0，標(biāo)準(zhǔn)偏差為5。解釋概率密度函數(shù)

通過計算給定間隔（例如，從–3到+3）內(nèi)P（x）曲線下的面積，我們可以確定隨機選擇的測量值落入該間隔的概率。出于實際目的，我們也可以將P（x）解釋為隨機選擇的測量將近似等于某個值的可能性。

例如，假設(shè)上面顯示的概率密度函數(shù)對應(yīng)于我們通過測量傳感器信號的電壓（以毫伏為單位）生成的直方圖。所有值均四舍五入至最接近的毫伏。平均值為0 V，標(biāo)準(zhǔn)偏差為5 mV。

我們使用上面給出的公式計算了高斯P（x），并繪制了P（x）來繪制一條曲線，該曲線是所測傳感器電壓分布的連續(xù)數(shù)學(xué)表示。現(xiàn)在，我們查看該圖，發(fā)現(xiàn)6 mV的值對應(yīng)于P（x）= 0.04，這表明隨機選擇的電壓測量值大約為6 mV的可能性為4％。

我發(fā)現(xiàn)以這種方式考慮概率密度函數(shù)很有幫助，但是請記住，從嚴(yán)格的數(shù)學(xué)角度來看，這種解釋是不正確的。概率密度函數(shù)是連續(xù)的，因此，概率僅在一個時間間隔內(nèi)為非零值，而不是沿水平軸的一個精確值。

概率密度函數(shù)的歸一化

所有概率密度函數(shù)都經(jīng)過歸一化，因此曲線下的總面積為1。

這是有道理的：整條曲線下方的區(qū)域為我們提供了隨機選擇的測量值落入與整條曲線相對應(yīng)的間隔內(nèi)的可能性。由于該值有100％的機會會在此間隔內(nèi)某個位置，因此積分P（x）的結(jié)果必須為1。

由于這種歸一化，如果我們在同一軸上繪制P（x）和直方圖，它們將不會重合：P（x）在垂直軸上僅從0擴展到0.08，而直方圖從0擴展到8000（因為它是使用100,000個數(shù)據(jù)點生成的）。

但是，如果我將P（x）乘以100,000，并將結(jié)果曲線包括在直方圖中，您會發(fā)現(xiàn)高斯概率密度函數(shù)可以數(shù)學(xué)方式捕獲所測得的分布。

當(dāng)我們將P（x）乘以100,000并將結(jié)果曲線包括在直方圖中時，高斯概率密度函數(shù)。結(jié)論

我希望您喜歡這篇文章，并希望它介紹了正態(tài)分布并在實踐和理論上取得了很好的平衡。在下一篇文章中，我們將繼續(xù)討論正態(tài)分布。

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