解決幾何變換的一般思路

圖像幾何變換又稱為圖像空間變換， 它將一幅圖像中的坐標(biāo)位置映射到另一幅圖像中的新坐標(biāo)位置． 我們學(xué)習(xí)幾何變換的關(guān)鍵就是要確定這種空間映射關(guān)系， 以及映射過(guò)程中的變換參數(shù)。

幾何變換不改變圖像的像素值， 只是在圖像平面上進(jìn)行像素的重新安排。一個(gè)幾何變換需要兩部分運(yùn)算：首先是空問(wèn)變換所需的運(yùn)算， 如平移、旋轉(zhuǎn)和鏡像等， 需要用它來(lái)表示輸出圖像與輸入圖像之間的〈像素〉映射關(guān)系：此外， 還需要使用灰度插值算法， 因?yàn)榘凑者@種變換關(guān)系進(jìn)行計(jì)算， 輸出圖像的像素可能被映射到輸入圖像的非整數(shù)坐標(biāo)上。

主要有以下內(nèi)容：

·圖像的平移變換

·圖像的鏡像變換

·圖像的轉(zhuǎn)置變換

·圖像的旋轉(zhuǎn)變換

·圖像的縮放

1、圖像的平移變換

在進(jìn)行書(shū)寫(xiě)matlab代碼之前，先來(lái)了解一下圖像平移的理論基礎(chǔ)。設(shè)圖像的高度為H，寬度為W，如下所示：

我們知道，圖像是由像素組成的，而像素的集合就相當(dāng)于一個(gè)二維的矩陣，每一個(gè)像素都有一個(gè)“位置”，也就是像素都有一個(gè)坐標(biāo)。假設(shè)原來(lái)的像素的位置坐標(biāo)為（x0，y0），經(jīng)過(guò)平移量（△x，△y）后，坐標(biāo)變?yōu)椋▁1，y1），如下所示：

?

用數(shù)學(xué)式子表示可以表示為：

x1 = x0 + △x，

y1 = y0 + △y；

用矩陣表示為：

?

本來(lái)使用二維矩陣就可以了的，但是為了適應(yīng)像素、拓展適應(yīng)性，這里使用三位的向量。

式子中，矩陣：

?

稱為平移變換矩陣（因子），△x和△y為平移量。

此外，我們也知道了，圖像的高度H其實(shí)也就是像素的行數(shù)，對(duì)于坐標(biāo)1≤X≤H；圖像的長(zhǎng)度也就是像素的列數(shù)，對(duì)應(yīng)坐標(biāo)1≤Y≤W。

上面是理論基礎(chǔ)，下面我們就用matlab實(shí)現(xiàn)一下圖像的平移變換，相應(yīng)的matlab代碼如下所示：

close all ;

clear all ;

clc ;

im = imread（‘F:/圖像處理/Koala.jpg’）;%讀入一幅圖

［H，W，Z］ = size（im）; % 獲取圖像大小，H為垂直方向768點(diǎn)，W為水平方向1024點(diǎn)

I=im2double（im）;%將圖像類型轉(zhuǎn)換成雙精度

res = ones（H，W，Z）; % 構(gòu)造結(jié)果矩陣。每個(gè)像素點(diǎn)默認(rèn)初始化為1（白色）

delX = 50; % 平移量X

delY = 100; % 平移量Y

tras = ［1 0 delX; 0 1 delY; 0 0 1］; % 平移的變換矩陣

for x0 = 1 ： H%第1行到第768行

for y0 = 1 ： W%第1列到第1024列

temp = ［x0; y0; 1］;%將每一點(diǎn)的位置進(jìn)行緩存，1行1列，1行2列···1行1024列

temp = tras * temp; % 根據(jù)算法進(jìn)行，矩陣乘法：轉(zhuǎn)換矩陣乘以原像素位置

x1 = temp（1， 1）;%新的像素x1位置，也就是新的行位置（從1~768）

y1 = temp（2， 1）;%新的像素y1位置，也就是新的列位置（從1~1024）

% 變換后的位置判斷是否越界

if （x1 《= H） & （y1 《= W） & （x1 》= 1） & （y1 》= 1）%新的行位置要小于新的列位置

res（x1，y1，：）= I（x0，y0，：）;%進(jìn)行圖像平移，顏色賦值

end

end

end;

set（0，‘defaultFigurePosition’，［100，100，1000，500］）;%設(shè)置窗口大小

set（0，‘defaultFigureColor’，［1 1 1］）;%設(shè)置窗口顏色

figure;%打開(kāi)一個(gè)窗口，用來(lái)顯示（多幅）圖像

subplot（1，2，1）， imshow（I），axis on ;%顯示圖片，一行兩列，第一幅

subplot（1，2，2）， imshow（res），axis on;%顯示圖片，一行兩列，第二幅

我們先來(lái)看一下效果，然后著重分析一下代碼，效果如下所示：

?

然后下面我們分析一下關(guān)鍵的代碼：

讀入圖像之后，得到im，我們可以看到im是一個(gè)三維的變量，包括了像素的位置（高度（即垂直長(zhǎng)度）和寬度（即水平長(zhǎng)度）），像素的顏色。（注，24位真彩圖：也是用矩陣表示，圖像像素直接用RGB顏色顯示，而不是通過(guò)顏色索引表。圖像像素的顏色用三個(gè)變量表示即（R，G，B），每個(gè)變量從0~255變化，因此一個(gè)像素也就是8bit*3=24bit，一個(gè)像素用24bit表示可以有2^24種顏色。）我們可以看到會(huì)有unit8，就是8bit的原因。

然后我們獲取圖像的大小，用H，W，Z三個(gè)變量接收，其中H接收了圖片的高度（也就是垂直長(zhǎng)度），W接收了圖片的寬度（水平長(zhǎng)度），然后Z接收了圖片的顏色值。

然后我們將圖像轉(zhuǎn)換成雙精度類型I，這是因?yàn)槭褂秒p精度可以仿真在轉(zhuǎn)換過(guò)程中發(fā)生精度損失的問(wèn)題，也是方便我們進(jìn)行轉(zhuǎn)換。轉(zhuǎn)換之后，我們可以看到unit8的類型別我們轉(zhuǎn)換成了double類型。

接著，我們構(gòu)造一個(gè)圖像res矩陣，這個(gè)圖像首先進(jìn)行歸一化，也就是讓里面的元素全部為1，對(duì)于圖像，就是一張白色的圖片了。這個(gè)圖像主要是用來(lái)“保存”我們進(jìn)行位移后的圖像。

然后我們就設(shè)置平移量、構(gòu)造平移變換矩陣。這個(gè)矩陣我們根據(jù)前面的理論部分可以得到。

接著便是重點(diǎn)了，進(jìn)行平移變換。我們來(lái)一句一句解讀這個(gè)循環(huán)。當(dāng)x0=1，y0=1時(shí)，得到第一個(gè)像素的位置，也就是（x0，y0）這個(gè)像素，然后將這個(gè)像素位置進(jìn)行緩存，也就是構(gòu)造一個(gè)矩陣temp，即理論中的：

?

然后進(jìn)行位置轉(zhuǎn)換，也就是進(jìn)行矩陣相乘，用變換矩陣乘以原像素矩陣，得到了變換后像素矩陣：

?

? ? ? 接著，我們需要把變換后的像素位置“提取”出來(lái)，用x1，y1進(jìn)行存儲(chǔ)；為什么要獲取位置呢？這是因?yàn)槲覀円袛噙@個(gè)像素是否越界了，也就是進(jìn)行平移之后，得到的這個(gè)像素位置是否還存在顯示區(qū)域里面，也就是我們的

if （x 《= H） & （y 《= W） & （x 》= 1） & （y 》= 1） 語(yǔ)句

當(dāng)還在顯示區(qū)域里面時(shí)，我們要進(jìn)行移位顯示：

res（x1，y1，：）= I（x0，y0，：）;%進(jìn)行圖像平移，顏色賦值

這個(gè)語(yǔ)句的含義是，把I中的RGB值（也就是顏色值）賦值給res，也就是說(shuō)，前面矩陣相乘只是移動(dòng)的像素位置，但是顏色沒(méi)有進(jìn)行移動(dòng)，這里進(jìn)行圖像顏色的平移，當(dāng)x0=1，y0=1時(shí)，把該點(diǎn)的位置圖像顏色進(jìn)行移動(dòng)過(guò)去。

當(dāng)x0=1，y0=2時(shí)，移動(dòng)第二點(diǎn)。我們可以看到，這里的代碼是：從左到右平移，也就是先進(jìn)行寬度的平移；從上到下，進(jìn)行高度的平移。當(dāng)兩個(gè)循環(huán)完成之后，圖像也就像平移完成了。

最后的代碼就是顯示圖像了，其中axis on 的意思是打開(kāi)左邊，方便我們進(jìn)行查看平移后的位置。從上面的效果我們可以得到，delx表示的高度的平移量，delx為正值時(shí)往下平移，delx為負(fù)值時(shí)往上平移；而dely表示的寬度的平移量，正值往右平移，負(fù)值往左平移。

2、圖像的鏡像變換

圖像的鏡像變換分為水平鏡像和垂直鏡像，下面分別進(jìn)行這兩種鏡像的介紹，首先說(shuō)明一下，無(wú)論是水平鏡像還是垂直鏡像，鏡像后高度和寬度都不變。

?

H圖像的高度，關(guān)聯(lián)x W：圖像的寬度，關(guān)聯(lián)y

·水平鏡像操作：以原圖像的垂直中軸線為中心，將圖像分為左右兩部分進(jìn)行對(duì)稱變換。示意圖如下所示

?

水平鏡像中，原圖中的（x0，y0）經(jīng)過(guò)水平鏡像后，坐標(biāo)變成了（x0，W-y0），用數(shù)學(xué)公式表達(dá)就是：

x1 = x0，

y1 = W-y0 ;

寫(xiě)成矩陣就是：

?

也就是說(shuō)，水平鏡像變換矩陣（因子）為：

?

用matlab代碼實(shí)現(xiàn)如下所示：

?

代碼已經(jīng)沒(méi)有什么好介紹的了，跟前面的平移差不多，只不過(guò)變換矩陣是水平鏡像變化矩陣，得到的效果如下所示：a2

·垂直鏡像操作：以原圖像的水平中軸線為中心，將圖像分為上下兩部分進(jìn)行對(duì)稱變換。示意圖如下所示：

?

垂直鏡像中，原圖中的（x0，y0）經(jīng)過(guò)垂直鏡像后，坐標(biāo)變成了（H-x0，y0），用數(shù)學(xué)公式表達(dá)就是：

x1 = H - x0，

y1 = y0 ;

寫(xiě)成矩陣就是：

?

也就是說(shuō)，垂直鏡像變換矩陣（因子）為：

?

用matlab代碼實(shí)現(xiàn)如下所示：

close all ;

clear all ;

clc ;

im = imread（‘F:/圖像處理/Koala.jpg’）;%讀入一幅圖

［H，W，Z］ = size（im）; % 獲取圖像大小，H為垂直方向768點(diǎn)，W為水平方向1024點(diǎn)

I=im2double（im）;%將圖像類型轉(zhuǎn)換成雙精度

res = ones（H，W，Z）; % 構(gòu)造結(jié)果矩陣。每個(gè)像素點(diǎn)默認(rèn)初始化為1（白色）

tras = ［-1 0 H; 0 1 0; 0 0 1］; % 垂直鏡像的變換矩陣

for x0 = 1 ： H%第1行到第768行

for y0 = 1 ： W%第1列到第1024列

temp = ［x0; y0; 1］;%將每一點(diǎn)的位置進(jìn)行緩存，1行1列，1行2列···1行1024列

temp = tras * temp; % 根據(jù)算法進(jìn)行，矩陣乘法：轉(zhuǎn)換矩陣乘以原像素位置

x1 = temp（1， 1）;%新的像素x1位置，也就是新的行位置（從1~768）

y1 = temp（2， 1）;%新的像素y1位置，也就是新的列位置（從1~1024）

% 變換后的位置判斷是否越界

if （x1 《= H） & （y1 《= W） & （x1 》= 1） & （y1 》= 1）%新的行位置要小于新的列位置

res（x1，y1，：）= I（x0，y0，：）;%進(jìn)行顏色賦值

end

end

end;

set（0，‘defaultFigurePosition’，［100，100，1000，500］）;%設(shè)置窗口大小

set（0，‘defaultFigureColor’，［1 1 1］）;%設(shè)置窗口顏色

figure;%打開(kāi)一個(gè)窗口，用來(lái)顯示（多幅）圖像

subplot（1，2，1）， imshow（I），axis on ;%顯示圖片，一行兩列，第一幅

subplot（1，2，2）， imshow（res），axis on;%顯示圖片，一行兩列，第二幅

代碼實(shí)現(xiàn)的效果如下所示：

? ? ? ?3、圖像的轉(zhuǎn)置變換

圖像的轉(zhuǎn)置就是將圖像像素的x坐標(biāo)和y坐標(biāo)互換。這樣將改變圖像的高度和寬度，轉(zhuǎn)置后圖像的高度和寬度也將互換。

圖像的轉(zhuǎn)置用數(shù)學(xué)公式描述就是：

x1 = y0，

y1 = x0;

寫(xiě)出矩陣如下所示：

?

用matlab實(shí)現(xiàn)的代碼如下所示：

close all ;

clear all ;

clc ;

im = imread（‘F:/圖像處理/Koala.jpg’）;%讀入一幅圖

［H，W，Z］ = size（im）; % 獲取圖像大小，H為垂直方向768點(diǎn)，W為水平方向1024點(diǎn)

I=im2double（im）;%將圖像類型轉(zhuǎn)換成雙精度

res = ones（H，W，Z）; % 構(gòu)造結(jié)果矩陣。每個(gè)像素點(diǎn)默認(rèn)初始化為1（白色）

tras = ［0 1 0; 1 0 0; 0 0 1］; % 轉(zhuǎn)置的變換矩陣

for x0 = 1 ： H%第1行到第768行

for y0 = 1 ： W%第1列到第1024列

temp = ［x0; y0; 1］;%將每一點(diǎn)的位置進(jìn)行緩存，1行1列，1行2列···1行1024列

temp = tras * temp; % 根據(jù)算法進(jìn)行，矩陣乘法：轉(zhuǎn)換矩陣乘以原像素位置

x1 = temp（1， 1）;%新的像素x1位置，也就是新的行位置（從1~768）

y1 = temp（2， 1）;%新的像素y1位置，也就是新的列位置（從1~1024）

% 變換后的位置判斷是否越界

if （x1 《= H） & （y1 《= W） & （x1 》= 1） & （y1 》= 1）%新的行位置要小于新的列位置

res（x1，y1，：）= I（x0，y0，：）;%進(jìn)行圖像顏色賦值

end

end

end;

set（0，‘defaultFigurePosition’，［100，100，1000，500］）;%設(shè)置窗口大小

set（0，‘defaultFigureColor’，［1 1 1］）;%設(shè)置窗口顏色

figure;%打開(kāi)一個(gè)窗口，用來(lái)顯示（多幅）圖像

subplot（1，2，1）， imshow（I），axis on ;%顯示圖片，一行兩列，第一幅

subplot（1，2，2）， imshow（res），axis on;%顯示圖片，一行兩列，第二幅

實(shí)現(xiàn)的效果如下所示：

? ? 4、圖像的旋轉(zhuǎn)

一般情況下，旋轉(zhuǎn)操作會(huì)有一個(gè)旋轉(zhuǎn)中心，這個(gè)旋轉(zhuǎn)中心一般為圖像的中心，旋轉(zhuǎn)之后圖像的大小一般會(huì)發(fā)生改變。圖像像素原來(lái)的坐標(biāo)為（x0，y0），（順時(shí)針）選擇Θ角度后得到（x1，y1），用數(shù)學(xué)公式表達(dá)如下所示：

x1 = x0·cosΘ + y0·sinΘ，

y1 = -x0·sinΘ + y0·cosΘ；

用矩陣表示如下所示：

?

matlab中有直接實(shí)現(xiàn)圖像旋轉(zhuǎn)的函數(shù)，整理我們就直接使用圖像的旋轉(zhuǎn)函數(shù)，代碼如下所示：

?

這里主要是說(shuō)明一下imrotate函數(shù)，這個(gè)函數(shù)就是對(duì)圖像旋轉(zhuǎn)的函數(shù)，輸入是圖像和旋轉(zhuǎn)的角度，角度為正值時(shí)，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)；角度為負(fù)值時(shí)，順時(shí)針選擇。代碼實(shí)現(xiàn)的效果如下所示：

? ? ? ?5、圖像的縮放

下面值來(lái)介紹一下圖像的縮放主要是根據(jù)函數(shù)imresize來(lái)實(shí)現(xiàn)的，我們先來(lái)看看代碼和效果圖，然后分析圖像的縮放函數(shù)。代碼和效果圖像所示：

close all ;

clear all ;

clc ;

［im，map］ = imread（‘Hydrangeas.bmp’）;%讀入圖片

im0 = imresize（im，0.26）;%進(jìn)行縮放到原來(lái)的0.26倍

im1 = imresize（im，1）;%縮放原來(lái)的比例

im2 = imresize（im，3.5）;%進(jìn)行縮放到原來(lái)的3.5倍

im3 = imresize（im，［64 40］）;%進(jìn)行圖像的縮放并設(shè)置圖像的行列

im4 = imresize（im，1.6，‘bilinear’）;%進(jìn)行線性插值實(shí)現(xiàn)縮放

im5 = imresize（im，1.6，‘triangle’）;

set（0，‘defaultFigurePosition’，［100，100，1000，500］）;%設(shè)置窗口大小

set（0，‘defaultFigureColor’，［1 1 1］）;%設(shè)置窗口顏色

figure;%打開(kāi)一個(gè)窗口，用來(lái)顯示（多幅）圖像

subplot（1，2，1）， imshow（im，map）;%顯示圖片，一行兩列，第一幅

subplot（1，2，2）， imshow（im0，map）;%顯示圖片，一行兩列，第二幅

figure;%打開(kāi)一個(gè)窗口，用來(lái)顯示（多幅）圖像

subplot（1，2，1）， imshow（im，map）;%顯示圖片，一行兩列，第一幅

subplot（1，2，2）， imshow（im1，map）;%顯示圖片，一行兩列，第二幅

figure;%打開(kāi)一個(gè)窗口，用來(lái)顯示（多幅）圖像

subplot（1，2，1）， imshow（im，map）;%顯示圖片，一行兩列，第一幅

subplot（1，2，2）， imshow（im2，map）;%顯示圖片，一行兩列，第二幅

figure;%打開(kāi)一個(gè)窗口，用來(lái)顯示（多幅）圖像

subplot（1，2，1）， imshow（im，map）;%顯示圖片，一行兩列，第一幅

subplot（1，2，2）， imshow（im3，map）;%顯示圖片，一行兩列，第二幅

figure;%打開(kāi)一個(gè)窗口，用來(lái)顯示（多幅）圖像

subplot（1，2，1）， imshow（im，map）;%顯示圖片，一行兩列，第一幅

subplot（1，2，2）， imshow（im4，map）;%顯示圖片，一行兩列，第二幅

figure;%打開(kāi)一個(gè)窗口，用來(lái)顯示（多幅）圖像

subplot（1，2，1）， imshow（im，map）;%顯示圖片，一行兩列，第一幅

subplot（1，2，2）， imshow（im5，map）;%顯示圖片，一行兩列，第二幅

縮小：

?

等大：

?

放大

?

縮放并且設(shè)置行列：

?

線性插值：

?
? ? ? ?

下面介紹一下imresize函數(shù)的使用信息（可以通過(guò)在matlab 使用help imresize查看）：

該函數(shù)主要用來(lái)調(diào)整圖像大小。

B = imresize（A，SCALE）返回一個(gè)圖像，大小是原來(lái)的SCALE倍；A是灰度、RGB或者二進(jìn)制圖像。

B = imresize（A，［NUMROWS NUMCOLS］）調(diào)整圖像大小，使其具有指定數(shù)量的行和列。 NUMROWS或NUMCOLS可能都是NaN，在這種情況下，將自動(dòng)計(jì)算行數(shù)或列數(shù)，以便保留圖像寬高比。

［Y，NEWMAP］ = imresize（X，MAP，SCALE）調(diào)整索引圖像的大小，其中按照SCALE的倍數(shù)對(duì)原圖像進(jìn)行調(diào)整。

［Y，NEWMAP］ = imresize（X，MAP，［NUMROWS NUMCOLS］）調(diào)整索引圖像的大小，通過(guò)調(diào)整行數(shù)和列數(shù)進(jìn)行調(diào)整。

要控制imresize使用的插值方法，可以在上面的語(yǔ)法中添加一個(gè)METHOD參數(shù)，如下所示：

（A，SCALE，METHOD）

（A，［NUMROWS NUMCOLS］，METHOD），

imresize（X，MAP，M，METHOD）

imresize（X，MAP，［NUMROWS NUMCOLS］，METHOD）

METHOD可以是一個(gè)命名一般插值方法的字符串：

‘nearest’ - 最近鄰插值

‘bilinear’ - 雙線性插值

‘bicubic’ - 三次插值;默認(rèn)方法

METHOD也可以是一個(gè)命名插值內(nèi)核的字符串：

‘box’ - 用盒形內(nèi)核插值

‘triangle’ - 三角形內(nèi)核插值 （相當(dāng)于“雙線性”）

‘cubic’ - 用立方核插值 （相當(dāng)于“bicubic”）

‘lanczos2’ - 用Lanczos-2內(nèi)核插值

‘lanczos3’ - 插入Lanczos-3內(nèi)核

最后，METHOD可以是{f，w}形式的雙元素單元陣列，其中f是自定義內(nèi)插內(nèi)核的處理函數(shù)，w是自定義內(nèi)核的寬度。在區(qū)間-w / 2 《= x 《w / 2之外，f（x）必須為零。可以使用標(biāo)量或向量輸入來(lái)調(diào)用處理函數(shù)f。

可以通過(guò)使用上述任何語(yǔ)法之后的參數(shù)/值對(duì)來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)imresize的附加控制。例如：

B = imresize（A，SCALE，PARAM1，VALUE1，PARAM2，VALUE2，。..）

參數(shù)包括：

‘Antialiasing’- 真假指定縮小圖像時(shí)是否執(zhí)行抗鋸齒。默認(rèn)值取決于您選擇的插值方法。對(duì)于‘nearest’ METHOD參數(shù)，默認(rèn)值為false;對(duì)于所有其他方法，默認(rèn)值為true。

‘Colormap’ - （僅與索引圖像相關(guān)） ‘original’ 或 ‘optimized’;如果‘original’ ，則輸出newmap與輸入圖相同。如果是“優(yōu)化”，則會(huì)創(chuàng)建一個(gè)新的優(yōu)化顏色映射。默認(rèn)值為“optimized”。

‘Dither’ - （僅適用于索引圖像）true或false; 指定是否執(zhí)行顏色抖動(dòng)。默認(rèn)值為true。

‘Method’ - 如上所述

‘OutputSize’ - 一個(gè)雙元素向量［MROWS NCOLS］， 指定輸出大小。一個(gè)元素可以是NaN，在這種情況下，自動(dòng)計(jì)算另一個(gè)值以保留圖像的寬高比。

‘Scale’ - 一個(gè)標(biāo)量或兩元素向量，指定調(diào)整大小的比例因子。如果它是標(biāo)量，則將相同的比例因子應(yīng)用于每個(gè)維度。如果它是向量，它分別包含行和列尺寸的比例因子。

例子：

使用默認(rèn)的雙三次插值和抗混疊縮小兩倍：

I = imread（‘rice.png’）;

J = imresize（I，0.5）;

figure，imshow（I）， figure，imshow（J）

使用最近鄰內(nèi)插收縮因子2。 （這是最快的方法，但質(zhì)量最差）：

J2 = imresize（I，0.5，‘nearest’）;

調(diào)整索引圖像的大小：

［X，map］ = imread（‘trees.tif’）;

［Y，newmap］ = imresize（X，map，0.5）;

imshow（Y，newmap）

調(diào)整RGB圖像的大小以獲得64行，自動(dòng)計(jì)算列數(shù)：

RGB = imread（‘peppers.png’）;

RGB2 = imresize（RGB，［64 NaN］）;

圖像的幾何變化差不多就到這里了，matlab中有很多函數(shù)可以實(shí)現(xiàn)圖像的幾何變換，這里就不詳細(xì)說(shuō)明了。