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對一個與并行結構和通信網絡設計密切相關的圖論公開性問題進行了研究。討論了圖的結點數為n，連通度至少為k，k-直徑至多為d的條件下的最小圖問題，給出了一般條件下最小圖邊數條數的上、下界，在此基礎上，得到了兩種條件下最小圖邊數的計算公式，結合已有的圖論結果，對文中所提到的最小圖進行了構造。
關 鍵 詞 圖; 公開性問題; 連通度; k-直徑; 直徑
在并行結構和通信網絡的設計中，往往希望構造一個滿足一定條件的最小網絡，即滿足條件鏈路最少的網絡，以減少網絡材料開銷。若把網絡結點看著圖的頂點，鏈路看著圖的邊，一個網絡可以模型于一個圖。本文將對圖的頂點數為n，連通度至少為k，k-直徑至多為d的條件下的最小圖的邊數問題進行分析研究。
1 有關定義
在文獻[1]中介紹了有關圖的容器(Container)理論和它的發展現狀。容器是對單路徑的擴充，在此基礎上，擴充了圖的連通度和直徑的概念，提出了圖的寬距離和寬直徑的概念。設G表示一無向簡單圖(圖中無自環、無平行邊)，u、v表示圖G中的頂點(也稱為結點)，V(G)表示圖G中的頂點集，概念定義如下[1]。
定義 1 圖G的兩頂點間的一個容器C(u,v)是u、v間所有頂點不重合的路集合；容器C(u,v)的寬度是指該集合的勢，記為w(C(u,v))；容器C(u,v)的長度是指這個路集合中最長路的長度，記為l(C(u,v))。
定義 2 圖G中的兩頂點u、v之間的w-寬距離是指u、v之間所有寬為w的容器長度的最小值，記為dw(u,v)，即：dw(u,v)=min{l(Cw(u,v)), u≠v}，其中Cw(u,v)表示u、v之間寬度為w的容器。
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