降壓型變換器的分叉及其混沌行為的研究

DC／DC變換器運行中產生大量的非線性現象，主要是功率器件開關引起的[1]。已有研究表明，在DC／DC開關變換器實際運行中，時常會出現一些奇怪或不規則現象，如不明的電磁噪聲、臨界運行狀態的突然崩潰、系統運行的不穩定和無法按實際要求工作等現象，這些現象是DC／DC變換器固有的非線性特性--分又和混沌現象的一種外在表現[2，3]。DC／DC變換器一旦進入混沌工作狀態，由于混沌運動的不確定性將導致系統運行狀態的無法預測和控制，甚至完全無法工作。因此，功率變換器分叉和混沌現象的研究，對于避免、消除和利用混沌具有非常重要的指導意義。文獻[4]分別用輸入電壓和負載電容作為分叉和發生混沌的參數進行了仿真試驗。選取電壓反饋系數作為分叉和發生混沌的參數，通過調整反饋參數，可以實現各種周期軌道的穩定控制。由于系統處在周期運動區時，其電壓轉換效率高于系統處在混沌運動區時的電壓轉換效率，因此研究這種電路系統的混沌控制具有重要的實用價值。

1 Buck變換器的基本電路和非線性動力學方程[5]Buck變換器是一種輸出電壓等于或小于輸入電壓的單管非隔離直流變換器。其主電路的示意圖如圖1所示。

考慮電路在不連續工作模式(DCM)情況下，電路出現3種工作模式(見圖2)：

如圖3所示為Buck變換器的原理圖。圖3中Us為輸入電壓；s為開關器件；VD為續流二極管；iL為電感L上流過的電流；Uc為電容電壓；Uo為負載兩端輸出電壓；D為穩態工作時開關占空比，他等于S導通時間與開關工作周期T之比；dm是第m個開關周期占空比，當穩態工作時dm＝D；△dm是第m個開關周期占空比變化量；K是變換器比例反饋參數。在一般不連續模式下，電路的狀態方程可以用式(5)表示。求解式(5)得：

ti－1＜t＜to為初始時刻，對他每個開關周期(即在t＝t1，t＝t2，t＝t3 時刻)進行一次狀態變量的采樣，得到離散序列{χm＋1}，m＝0，1，2，…由式(6)可以得到一個從χm到χm＋1的離散映射：

其中△ti＝ti－ti－1為每個開關模態的時間間隔，其大小取決于變換器反饋控制規律。DC／DC Buck變換器的控制率為：

式(8)中Uom是第m周期的輸出電壓，即反饋電壓，dm為第m個開關周期占空比。式(8)中當dm≤0，取dm＝0；當dm≥1，取dm＝1；當0＜dm＜1，取dm＝dm。

由式(6)，(7)可以得到DCM情況下的離散模型為：

△t－to＝dmT對應狀態1的工作時間； 對應狀態2的工作時間；△t3＝t3－t2＝T－△t1－△t2對應狀態3的工作時間；T＝tπ＋1－tm表示電路開關的周期。

由于離散迭代映射中存在矩陣指數，且要對其求積分，要得到其精確的離散映射有較大的難度。在這里引入凱萊-哈密爾頓定理，則式(10)中的eAit，一可表示為：

其中ao(ti)和a1(ti)滿足方程：

式(10)中A的2個特征值分別為λ1，2，由此可以得到：

其中：

將eA1t，eA2t2，eAA3t3帶入式(10)得到Buck變換器的精確離散模型：

3 Buck變換器中分叉與混沌現象動態演化過程

DC／DC開關變換器以往的建模方式都是采用近似等效、線性化的方法，從而能利用較成熟的線性系統理論對其模型進行研究。但不能展示DC／DC開關變換器非線性混沌現象，對開關變換器的開關非線性動態過程做細致的分析，研究表明需采用非線性離散模型[6]。

DC／DC Buck變換器工作在不連續工作模式(DCM)。用Matlab對圖3進行仿真，根據前面建立的精確離散模型，將反饋參數K從0開始不斷變大，其他參數如下：Us＝33 V；R＝12．5 Ω；L＝208μH；C＝222 μF；T＝333．33 μs；Vo＝25 V；rc為電容內阻，rc＝0．0124，P＝50 W。

圖4是該離散模型的仿真結果，由圖可見，隨著反饋參數k的增加，Buck變換器表現出如下動力學行為：當K△0～0．134 5，系統呈現1周期運動；在K△0．134 5時，出現分叉現象，當K△0．184 6時，出現第二次分叉，在KA0．197 9～O．248 5范圍內，存在2個混沌窗口；當K△0．248 5時，系統又經過邊界碰撞分又，出現3周期運動，然后經過倍周期分叉，當K△0．661時進入混沌狀態，但在混沌區中存在大量的周期窗口。從圖中可以看出變換器從穩定工作，到周期分叉和進一步周期分叉，最后進入混沌狀態，完整地展現出Buck DC／DC變換器從穩定、不穩定直至混沌演化的全過程。

4 DC／DC Buck變換器中分叉運動的穩定性分析

DC／DC Buck變換器離散系統的穩定性主要取決于系統在不動點處雅可比矩陣的特征值的大小，只有當他的特征值的絕對值都小于等于1時，系統就是穩定的。所以，由式(6)得到DC／DC Buck變換器離散系統在穩定點X的判別式為：

其中△χm＋1＝χm－X，△χm為系統擾動，當△χm很小時，上式的高階項很小，可以忽略不計，所以DC／DC變換器的穩定性判據可簡化為：

DC／DC Buck變換器(當他的主要參數確定后)的穩定性直接取決于控制系統的設計。如圖3所示，K是DC／DC Buck變換器比例反饋參數，他的取值直接影響變換器的穩定性。將上述仿真試驗時選取的參數代入式(12)，以反饋參數K為分叉變量，與電壓反饋參數K相關的穩定性判別式可由式(14)得到：

由式(15)可以得到K的臨界穩定值為：Kc＝0．133 5。對系統穩定性而言，當K＜Kc時，系統穩定，反之，系統不穩定，且開始出現倍周期分叉逐漸進入混沌狀態，這更有力的證實了前面的仿真結果與理論完全相符。

本文對DC／DC Buck變換器的分又及其混沌行為進行進一步深入研究，研究結果表明：電壓反饋系數K對該電路系統的動力學行為有十分重要的影響。當K△0～0．134 5，系統呈現1周期運動；在K△0．134 5時，出現分叉現象，當K△0．184 6時，出現第二次分叉，在K△0．197 9～0．248 5范圍內，存在2個混沌窗口；當K△0．248 5時，系統又經過邊界碰幢分叉，出現3周期運動然后經過倍周期分叉，當K△0．661時進入混沌狀態，但在混沌區中存在大量的周期窗口。仿真結果表明，DC／DCBuck變換器存在著較大范圍的非線性行為，當反饋參數變化時，系統就沿著倍周期軌跡運動，并最終進入混沌仿真結果與理論結果完全一致，仿真和理論分析證明所建立的DC／DC Buck變換器的精確數學離散模型的正確性能真實反映變換器各變量間的解析關系，從而為DC／DCBuck變換器的優化設計和控制提供了理論依據。