頻率特性又稱頻率響應，它是指系統或元件對不同頻率的正弦輸入信號的響應特性。系統的頻率特性可由兩個方法直接得到：(1) 機理模型—傳遞函數法；(2) 實驗方法。

5.1.1 由傳遞函數求系統的頻率響應
設系統的開環傳遞函數

(5-1)

對應的頻率特性為

(5-2)

如果在S平面的虛軸上任取一點 ，把該點與的所有零、極點連接成向量，并將這些向量分別以極坐標的形式表示：

則式（5－3）可改寫為

(5-3)

由上式得到其對應的幅值和相角：

(5-4)

(5-5)

同理，可求得對應于 的 和 。如此繼續下去，就能得到一系列幅值和相位與頻率 的關系，其中幅值隨頻率變化而變化的特性稱為系統的幅頻特性，相角隨頻率變化而變化的特性稱為系統的相頻特性。

例5-1繪制系統的幅頻和相頻特性曲線...

設一線性系統的傳遞函數為

(5-6)

解：傳遞函數零、極點的分布如圖5令 ，代入式（5即當 時，頻率特性的幅值 ，相角 。代入不同的頻率 值，重復上述的計算，就可求得對應的一組 和 值。據此，也可由下面的Matlab

figure(1),plot(w,x(:)),axis([0,10,0,3]),xlabel('頻率（弧度）'),ylabel('幅值');>

figure(2),plot(w,y(:)),axis([0,10,-120,40]),xlabel('頻率（弧度）'),ylabel('相角')>

5.1.2 由實驗方法求頻率特性

系統的頻率特性也可用實驗方法得到。圖5－3給出了一種求取系統頻率特性的實驗接線方法，它由一臺正弦信號發生器、系統或元件裝置和雙蹤示波器組成。信號發生器的頻率范圍由被測試的實驗裝置決定，雙蹤示波器的一路用于測量輸出、輸入信號的比值，即系統的幅頻特性： ，另一路用于測量輸出信號與輸入信號的相位差，即系統的相頻特性： 。通過不斷改變輸入信號的頻率 值，應可以得到系統的頻率特性。

5.1.3? 頻率特性的基本概念

5.1.3 頻率特性的基本概念
線性定常系統的頻率特性和時域響應是一致的。在頻率特性已知的情況下，可通過數值或解析的方法得到系統的時間響應。

如果一個系統的頻率特性已知，則可根據反富里葉級數示取系統的時間響應。令 為控制系統輸出的頻率特性，則由>

(5-7)

>可得到系統輸出的時間響應。上面的積分式可通過解析法或根據頻特性圖由數值法求得。

反過來，若已知系統的時間響應，也可求出系統的頻率特性。為了方便理解，下面先以R－C電路為例，并說明頻率特性的物理意義。

R－C電路的傳遞函數為

(5-8)

>設輸入電壓 ，由復數阻抗的概念求得

(5-9)

如上所述， 可改寫為>

(5-10)

式中，

，

,

。

稱為電路的頻率特性。顯然，它由該電路的結構和參數決定，與輸入信號的幅值和相位無關。 是 的幅值，它表示在穩態時，電路的輸出與輸入的幅值之比。 是 的相角，它表示在穩態時，輸出信號與輸入信號的相位差。由于 和 都是輸入信號頻率ω的函數，故它們分別被稱為電路的幅頻特性和相頻特性。

綜上所述，式（5—10）所示頻率特性的物理意義是：當一頻率為ω的正弦信號加到電路的輸入端后，在穩態時，電路的輸出與輸入之比；或者說，電路的輸出與輸入的幅值之比和相位之差。

根據式（5—9），R-C電路的穩態輸出為

由上式可知，當 時，輸出與輸入的電壓不僅幅值相等，而且相位也完全一致。隨著ω的不斷增大，輸出電壓的幅值將不斷地衰減，相位也不斷地滯后。圖5—4示出了該電路的幅頻和相頻特性。

同樣，對于一般的線性定常系統，設輸入為一頻率為ω的正弦信號，在穩態時，系統的輸出具有和輸入同頻率的正弦函數，但其幅值和相位一般均不同于輸入量，且隨著輸入信號頻率的變化而變化。

設線性系統的傳遞函數具有式（5－2）的形式，已知輸入信號 ，其拉氏變換 ，A為常量，則系統的輸出為

式中， 為 的極點。對于穩定系統，這些極點都位于s的左平面，即它們的實部 均為負值。為簡單起見，令 的極點均為相異的實數極點，則式（5—12）改寫為

(5-13)

其中 、 和 (i=1，2，…，n)，均為待定系數。對上式取拉氏反變換，求得

當 時，系統響應的瞬態分量 趨向零，其穩態分量為

其中 、和 由下列兩式確定

由于是一個復數向量，因而可表示為

(5-18)

其中 。注意到式中 、 是ω的偶函數， 、 是ω的奇函數，因而 與 互為共軛復數。這樣 可改寫為

把式（5—16）~（5—19）代入式（5—15），可得

以上證明了線性定常系統的穩態輸出是和輸入具有相同頻率的正弦信號，其輸出與輸入的幅值比為 ，輸出與輸入的相位差 。

比較頻率特性與傳遞函數的形式可以發現，只要把傳遞函數中的 用 代之，就可得到系統的頻率特性，即有 。可見，頻率特性只是傳遞函數的一種特殊形式，因而它和傳遞函數一樣能表征系統的運動規律，成為描述系統的又一種數學模型。