二階（或兩極）濾波器由兩個連接在一起的RC濾波器部分組成，提供-40dB /十倍的滾降速率

二階濾波器也被稱為VCVS濾波器，因為運算放大器用作壓控電壓源放大器，是另一種重要類型的有源濾波器設計，因為我們先前看過的有源一階RC濾波器，高階濾波器可以使用它們設計電路。

在這個模擬濾波器部分的教程中，我們研究了無源濾波器和有源濾波器設計，并且已經看到一階濾波器可以通過使用額外的濾波器輕松轉換為二階濾波器輸入或反饋路徑中的 RC 網絡。然后我們可以將二階濾波器簡單地定義為：“兩個一階濾波器與放大級聯在一起”。

二階濾波器的大多數設計通常以其發明者命名，最常見的濾波器類型為： Butterworth ， Chebyshev ， Bessel 和 Sallen-Key 。所有這些類型的濾波器設計均可用作：低通濾波器，高通濾波器，帶通濾波器和帶阻（陷波）濾波器配置，以及二階濾波器，均具有每分鐘40dB的滾降。

Sallen-Key濾波器設計是最廣為人知和最受歡迎的二階濾波器設計之一，只需要一個運算放大器用于增益控制，四個無源RC濾波器就可以完成調諧。

大多數有源濾波器僅由運算放大器，電阻器和電容器組成，其截止點通過反饋實現，無需在無源一階濾波器電路中使用電感器。

二階（兩極）有源濾波器，無論是低通還是高通，在電子設備中都很重要，因為我們可以使用它們設計更高階的濾波器，具有非常陡峭的滾降和級聯一階和二階濾波器，具有 n th 訂單值的模擬濾波器，o dd甚至可以在合理范圍內構造到任何值。

二階低通濾波器

二階低通濾波器易于設計，并廣泛用于許多應用中。 Sallen-Key二階（兩極）低通濾波器的基本配置如下：

二階低通濾波器

這個二階低通濾波器電路有兩個RC網絡， R1 - C1 和 R2 - C2 ，它們給出濾波器它的頻率響應屬性。濾波器設計基于非反相運算放大器配置，因此濾波器增益 A 將始終大于1.此外，運算放大器具有高輸入阻抗，這意味著它可以是容易與其他有源濾波器電路級聯，以提供更復雜的濾波器設計。

二階低通濾波器的歸一化頻率響應由 RC 網絡確定，通常與第一順序類型。 1階和2階低通濾波器的主要區別在于，當工作頻率超過截止頻率時，阻帶衰減將是40dB / decade（12dB /倍頻程）的1階濾波器的兩倍。 ?c，如圖所示。

歸一化低通頻率響應

上面的頻率響應波特圖，基本相同對于一階濾波器。這次的差異是滾降的陡度，在阻帶中為-40dB / decade。但是，二階濾波器可以根據截止頻率點處的電路電壓放大系數 Q 顯示各種響應。

在有源二階濾波器中，通常使用阻尼因子，ζ（zeta），它是 Q 的倒數。 Q 和ζ均由放大器的增益獨立決定， A ，以便 Q 降低阻尼系數增加。簡單來說，低通濾波器本質上總是低通，但在截止頻率附近會出現諧振峰值，即由于放大器增益的共振效應，增益會迅速增加。

然后 Q ，品質因數，代表該共振峰的“峰值”，即它在截止頻率點附近的高度和窄度，? ? 。但濾波器增益也決定了其反饋量，因此對濾波器的頻率響應有顯著影響。

一般來說，為保持穩定性，有源濾波器增益不得超過3且最佳表示為：

品質因數，“Q”

然后我們可以看到對于非反相放大器配置，濾波器增益 A 必須介于1和3之間（阻尼因子，ζ介于0和2之間）。因此，較高的 Q 值或較低的ζ值會為響應提供更大的峰值，并顯示更快的初始滾降率。

二階濾波器幅度響應

二階低通濾波器的幅度響應因不同的值而異阻尼系數，ζ。當ζ= 1.0 或更多（2是最大值）時，濾波器變為所謂的“過阻尼”，頻率響應顯示長的平坦曲線。當ζ= 0 時，濾波器輸出峰值在截止點處急劇上升，類似于濾波器被稱為“欠阻尼”的尖點。

然后介于兩者之間，ζ= 0 且ζ= 2.0 ，必須有一個頻率響應具有正確值的點，并且存在。這是當濾波器“臨界阻尼”并且在ζ= 0.7071 時發生。

最后一點，當反饋量達到4或更多時，濾波器開始振蕩由于諧振效應，它自身處于截止頻率點，將濾波器改變為振蕩器。這種效應稱為自振蕩。然后對于低通二階濾波器， Q 和ζ都起著關鍵作用。

我們可以從上面的歸一化頻率響應曲線中看到一階濾波器（紅線），通帶增益保持平坦和水平（稱為最大平坦），直到頻率響應到達截止頻率點時：?=?r和增益濾波器在其最大值的 1 /√ 2 或 0.7071 時減少超過其轉角頻率。此點通常稱為濾波器 -3dB point ，對于一階低通濾波器，阻尼因子將等于1，（ζ= 1 ）。

然而，對于二階濾波器，這個-3dB的截止點將處于不同的頻率位置，因為更陡峭的-40dB /十倍滾降率（藍線）。換句話說，轉角頻率?r隨著濾波器的階數的增加而改變位置。然后，為了使二階濾波器-3dB點回到與第一階濾波器相同的位置，我們需要向濾波器添加少量增益。

因此對于Butterworth二階低通濾波器設計增益量為：1.586，對于貝塞爾二階濾波器設計：1.268，對于切比雪夫低通設計：1.234。

二階濾波器示例No1

A二階低通濾波器應設計在具有相同電阻和電容的同相運算放大器周圍截止頻率確定電路中的值。如果濾波器特性給出如下：Q = 5，并且?c= 159Hz，設計合適的低通濾波器并繪制其頻率響應。

給出的特性： R1 = R2 ， C1 = C2 ， Q = 5 且?c= 159Hz

從上面的電路我們知道，對于相等的電阻和電容，截止頻率點?c給出如下：

為電阻選擇合適的值，例如10kΩ，得到的電容值計算如下：

然后對于159Hz的截止轉角頻率， R =10kΩ和 C = 0.1uF 。

值Q = 5，濾波器增益， A 計算如下：

我們從上面知道，非反相運算放大器的增益如下：

因此，二階低通濾波器的最終電路如下：

第二訂購低通濾波器電路

我們可以看到頻率響應曲線的峰值在由于高品質因數值， Q = 5 ，截止頻率。此時，濾波器的增益如下： Q×A = 14 ，或約+ 23dB，與計算值2.8相差很大，（+8.9） dB）。

但許多書籍，如右圖所示，告訴我們在歸一化截止頻率點等處的濾波器增益應該在-3dB點。通過將 Q 的值顯著降低到0.7071的值，得到的增益為 A = 1.586 ，并且頻率響應為在通帶中最大平坦，在截止點處具有-3dB的衰減，與二階巴特沃斯濾波器響應相同。

到目前為止，我們已經看到二階濾波器可以將它們的截止頻率點設置為任何所需的值，但可以通過阻尼因子ζ遠離此期望值。 。有源濾波器設計通過將濾波器部分級聯在一起，使濾波器的階數在合理范圍內達到任何值。

實際上在設計n th 階低通濾波器時希望設置一階部分的截止頻率（如果濾波器的階數是奇數），并設置每個二階部分的阻尼因子和相應的增益，以便獲得正確的整體響應。為了使低通濾波器的設計更容易實現，我們可以以列表形式提供ζ， Q 和 A 的值作為有源濾波器將在Butterworth Filter教程中看到。讓我們看另一個例子。

二階濾波器示例No2

設計一個非反相二階濾波器，它具有以下濾波器特性： Q = 1 ，?c= 79.5Hz 。

從上面看，過濾器的轉角頻率?c為：

為濾波電阻選擇合適的1kΩ值，然后計算得到的電容值as：

因此，對于79.5Hz或500的轉角頻率rads / s， R =1kΩ且 C = 2.0uF 。

給定值Q = 1，濾波器增益 A 的計算方法如下：

電壓增益以前給出了非反相運算放大器電路：

因此二階低通濾波器電路哪個Q為1，轉角頻率為79.5Hz，為：

低通Fi濾波器電路

二階高通濾波器

二階低通濾波器配置和二階高通濾波器配置，唯一改變的是電阻器和電容器的位置，如圖所示。

二階高通濾波器

由于二階高通和低通濾波器是相同的電路，除了電阻器和電容器的位置互換，設計和頻率調整程序為高通過濾波器與前一個低通濾波器完全相同。那么二階高通濾波器的波特圖如下：

歸一化高通頻率響應

與之前的低通濾波器一樣，阻帶中滾降的陡度為-40dB / decade。

在上述兩個電路中，op的值-amp電壓增益（ Av ）由放大器反饋網絡設置。這僅將濾波器通帶內的頻率增益設置得很好。我們可以選擇放大輸出并將此增益值設置為適合我們目的的任何量，并將此增益定義為常量 K 。

二階Sallen-Key濾波器也稱為正反饋濾波器，因為輸出反饋到運算放大器的正端子。這種類型的有源濾波器設計很受歡迎，因為它只需要一個運算放大器，因此相對便宜。