Content：

8.1 Optimization Objection

8.2 Large margin intuition

8.3 Mathematics Behind Large Margin Classification

8.4 Kernels

8.5 Using a SVM

8.5.1 Multi-class Classification

8.5.2 Logistic Regression vs. SVMs

8.1 Optimization Objection

支持向量機(Support Vector Machine: SVM)是一種非常有用的監督式機器學習算法。首先回顧一下Logistic回歸，根據log()函數以及Sigmoid函數的性質，有：

同時，Logistic回歸的代價函數（未正則化）如下：

為得到SVM的代價函數，我們作如下修改：

因此，對比Logistic的優化目標

SVM的優化目標如下：

注1：事實上，上述公式中的Cost0與Cost1函數是一種稱為hinge損失的替代損失(surrogate loss)函數，其他常見的替代損失函數有指數損失和對率損失

注2：注意參數C和λ的對應關系: C與(1 / λ)成正相關。

8.2 Large margin intuition

根據8.1中的代價函數，為使代價函數最小，有如下結論：

現假設C很大（如C=100000），為使代價函數最小，我們希望

所以代價函數就變為：

所以問題就變成：

該問題最后的優化結果是找到具有"最大間隔"(maximum margin)的劃分超平面，所以支持向量機又稱大間距分類器(large margin classifier)。那么什么是間隔? 為什么這樣優化就可以找到最大間隔？首先，我們通過圖8-1所示的二維的0/1線性分類情況來直觀感受。

圖8-1 SVM Decision Boundary: Linearly separable case

直觀上，應該去找位于兩類訓練樣本"正中間"的劃分超平面，即圖8-1的黑色直線(二維)，因為該劃分超平面對訓練樣本局部擾動的"容忍"性最好。例如，圖中的粉色和綠色直線，一旦輸入數據稍有變化，將會得到錯誤的預測。換言之，這個劃分超平面所產生的分類結果是最魯棒的，對要預測數據集的泛化能力最強。而兩條藍色直線之間的距離就稱為間隔(margin)。下一節將從數學角度來解釋間隔與最大間隔的優化原理。

8.3 Mathematics Behind Large Margin Classification

首先介紹一些數學知識。

2-范數(2-norm)： 也可稱長度(length)，是二維或三維空間向量長度的推廣，向量u記為||u||。例如，對于向量u = [ u1, u2, u3, u4]，||u|| = sqrt(u1^2 + u2^2 + u3^2 + u4^2)

向量內積(Vector Inner Product): 設向量a = [a1, a2, … , an]，向量b = [b1, b2, … , bn]，a和b的的內積定義為：a · b = a1b1 + a2b2 + … + anbn 。向量內積是幾何向量數量積(點積)的推廣，可以理解為向量a在向量b上的投影長度(范數)和向量b的長度的乘積。

所以有：

其中是在向量上的投影長度。

所以，8.2節得到的優化問題可以轉為如下形式:

分界線為，所以可知和分界線正交(垂直)，并且當時，分界線過原點(歐式空間)。為使目標最優（取最小值）且滿足約束，應該盡可能大，這樣就要求間距盡可能的大。直觀的如圖8-2所示，圖左為間距較小的情況，此時的較小，為滿足約束，導致目標函數變大，圖右為最大間距的情況，此時的是最大的，所以目標可以盡可能的小。

圖8-2 兩種不同間距的情況

8.4 Kernels

上述的討論都是基于線性可分的樣本，即存在一個劃分超平面可以將訓練樣本正確分類，然而現實世界存在大量復雜的，非線性分類問題(如4.4.2節的異或/同或問題)。Logistic回歸處理非線性問題可以通過引入多項式特征量作為新的特征量；神經網絡通過引入隱藏層，逐層進化解決非線性分類問題；而SVM是通過引入核函數(kernel function)來解決非線性問題。具體做法如下：

對于給定輸出x, 規定一定數量的landmarks，記為；

將x,作為核函數的輸入，得到新的特征量，若將核函數記為similarity()，則有

，其中與為一一對應；

將新的特征量替代原有特征量，得到假設函數如下：

現在有兩個問題，

如何選擇landmarks？

用什么樣的核函數 ?

對于第一個問題，可以按照如下方式，即將訓練集的輸入作為landmarks

所以特征量的個數與訓練集的個數相等，即n = m，所以帶有核的SVM變為如下形式：

對于第二個問題，常用的核函數有線性核，高斯核，多項式核，Sigmoid核，拉普拉斯核等，現以常用的高斯核(Gaussian)為例。

高斯核具有如下性質：

也就是說，如果x和landmark接近，那么核函數的值也就是新的特征量將會接近1，而如果x和landmark距離很遠，那么核函數的值將會接近0.

是高斯核的參數，它的大小會影響核函數值的變化快慢，具體的，圖8-3是一個二維情況下的特殊例子，但是所含有的性質是可推廣的。即越大，核函數變化(下降)越緩慢，反之，越小，核函數變化越快。

圖8-3 參數對高斯核的影響舉例

如何選擇參數？

下面對SVM的參數對偏差和方差的影響做簡要分析：

C: 由于C和(1 /λ)正相關，對λ的分析有：

8.5 Using a SVM

上文簡單的介紹了SVM的優化原理以及核函數的使用方式。在實際應用SVM中，我們不需要自己去實現SVM的訓練算法來得到參數，通常是使用現有的軟件包(如liblinear, libsvm)。

但是下面的工作是我們需要做的：

選擇參數C的值

選擇并實現核函數

如果核函數帶參數，需要選擇核函數的參數，例如高斯核需要選擇

如果無核(選擇線性核)，即給出線性分類器，適用于n大，m小的情況

選擇非線性核（如高斯核），適用于n小，m大的情況

下面是需要注意的地方：

在使用核函數之前要對特征量進行規范化

并不是所有的函數是有效的核函數，它們必須滿足Mercer定理。

如果想要通過訓練得到參數C或者核函數的參數，應該是在訓練集和交叉檢驗集上進行

8.5.1 Multi-class Classification

8.5.2 Logistic Regression vs. SVMs