作為『十大機器學習算法』之一的K-近鄰（K-Nearest Neighbors）算法是思想簡單、易于理解的一種分類和回歸算法。今天，我們來一起學習KNN算法的基本原理，并用Python實現該算法，最后，通過一個案例闡述其應用價值。

KNN算法的直觀理解

（添加一個直觀的圖）

它基于這樣的簡單假設：彼此靠近的點更有可能屬于同一個類別。用大俗話來說就是『臭味相投』,或者說『近朱者赤，近墨者黑』。

它并未試圖建立一個顯示的預測模型，而是直接通過預測點的臨近訓練集點來確定其所屬類別。

K近鄰算法的實現主要基于三大基本要素：

K的選擇；

距離度量方法的確定；

分類決策規則。

下面，即圍繞這三大基本要素,探究它的分類實現原理。

KNN算法的原理

算法步驟

K近鄰算法的實施步驟如下：

根據給定的距離度量，在訓練集TT中尋找出與xx最近鄰的kk個點，涵蓋這kk個點的xx的鄰域記作Nk(x)Nk(x);

在Nk(x)Nk(x)中根據分類決策規則決定樣本的所屬類別yy:

y=argmaxcj∑xi∈Nk(x)I(yi=cj),i=1,2,?,N;j=1,2,?,K.y=argmaxcj∑xi∈Nk(x)I(yi=cj),i=1,2,?,N;j=1,2,?,K.

K的選擇

K近鄰算法對K的選擇非常敏感。K值越小意味著模型復雜度越高，從而容易產生過擬合；K值越大則意味著整體的模型變得簡單，學習的近似近似誤差會增大。

在實際的應用中，一般采用一個比較小的K值。并采用交叉驗證的方法，選取一個最優的K值。

距離度量

距離度量一般采用歐式距離。也可以根據需要采用LpLp距離或明氏距離。

分類決策規則

K近鄰算法中的分類決策多采用多數表決的方法進行。它等價于尋求經驗風險最小化。

但這個規則存在一個潛在的問題：有可能多個類別的投票數同為最高。這個時候，究竟應該判為哪一個類別？

可以通過以下幾個途徑解決該問題：

從投票數相同的最高類別中隨機地選擇一個；

通過距離來進一步給票數加權；

減少K的個數，直到找到一個唯一的最高票數標簽。

KNN算法的優缺點

優點

精度高

對異常值不敏感

沒有對數據的分布假設

缺點

計算復雜度高

在高維情況下，會遇到『維數詛咒』的問題

KNN算法的算法實現

import os os.chdir('D:\\my_python_workfile\\Project\\Writting')os.getcwd()'D:\\my_python_workfile\\Project\\Writting'from __future__ import divisionfrom collections import Counter#from linear_algebra import distance#from statistics import meanimport math, randomimport matplotlib.pyplot as plt# 定義投票函數defraw_majority_vote(labels): votes = Counter(labels) winner,_ = votes.most_common(1)[0] return winner

以上的投票函數存在潛在的問題：有可能多個類別的投票數同為最高。

下面的函數則實現了解決方案中的第三種分類決策方法。

# defmajority_vote(labels): """assumes that labels are ordered from nearest to farthest """ vote_counts = Counter(labels) winner,winner_count = vote_counts.most_common(1)[0] num_winners = len([count for count in vote_counts.values() if count == winner_count]) if num_winners == 1: return winner else: return majority_vote(labels[:-1]) # try again wthout the farthest# define distance functionimport math#### 減法定義defvector_substract(v,w): """substracts coresponding elements""" return [v_i - w_i for v_i,w_i in zip(v,w)]defsquared_distance(v,w): """""" return sum_of_squares(vector_substract(v,w))defdistance(v,w): return math.sqrt(squared_distance(v,w))########################################### define sum_of_squares### 向量的點乘defdot(v,w): return sum(v_i * w_i for v_i,w_i in zip(v,w))### 向量的平房和defsum_of_squares(v): """v_1*v_1+v_2*v_2+...+v_n*v_n""" return dot(v,v)# classifierdefknn_classify(k,labeled_points,new_point): """each labeled point should be a pair (point,label)""" # order the labeled points from nearest to farthest by_distance = sorted(labeled_points, key = lambda (point,_):distance(point,new_point)) # find the labels for the k cloest k_nearest_labels = [label for _,label in by_distance[:k]] # and let them vote return majority_vote(k_nearest_labels)KNN算法的應用：案例分析# cities = [(-86.75,33.5666666666667,'Python'),(-88.25,30.6833333333333,'Python'),(-112.016666666667,33.4333333333333,'Java'), (-110.933333333333,32.1166666666667,'Java'),(-92.2333333333333,34.7333333333333,'R'),(-121.95,37.7,'R'), (-118.15,33.8166666666667,'Python'), (-118.233333333333,34.05,'Java'),(-122.316666666667,37.8166666666667,'R'), (-117.6,34.05,'Python'),(-116.533333333333,33.8166666666667,'Python'), (-121.5,38.5166666666667,'R'),(-117.166666666667,32.7333333333333,'R'),(-122.383333333333,37.6166666666667,'R'), (-121.933333333333,37.3666666666667,'R'),(-122.016666666667,36.9833333333333,'Python'), (-104.716666666667,38.8166666666667,'Python'),(-104.866666666667,39.75,'Python'),(-72.65,41.7333333333333,'R'), (-75.6,39.6666666666667,'Python'),(-77.0333333333333,38.85,'Python'),(-80.2666666666667,25.8,'Java'), (-81.3833333333333,28.55,'Java'),(-82.5333333333333,27.9666666666667,'Java'),(-84.4333333333333,33.65,'Python'), (-116.216666666667,43.5666666666667,'Python'),(-87.75,41.7833333333333,'Java'),(-86.2833333333333,39.7333333333333,'Java'), (-93.65,41.5333333333333,'Java'),(-97.4166666666667,37.65,'Java'),(-85.7333333333333,38.1833333333333,'Python'), (-90.25,29.9833333333333,'Java'),(-70.3166666666667,43.65,'R'),(-76.6666666666667,39.1833333333333,'R'), (-71.0333333333333,42.3666666666667,'R'),(-72.5333333333333,42.2,'R'),(-83.0166666666667,42.4166666666667,'Python'), (-84.6,42.7833333333333,'Python'),(-93.2166666666667,44.8833333333333,'Python'),(-90.0833333333333,32.3166666666667,'Java'), (-94.5833333333333,39.1166666666667,'Java'),(-90.3833333333333,38.75,'Python'),(-108.533333333333,45.8,'Python'), (-115.166666666667,36.0833333333333,'Java'),(-71.4333333333333,42.9333333333333,'R'),(-74.1666666666667,40.7,'R'), (-106.616666666667,35.05,'Python'),(-78.7333333333333,42.9333333333333,'R'),(-73.9666666666667,40.7833333333333,'R'), (-80.9333333333333,35.2166666666667,'Python'),(-78.7833333333333,35.8666666666667,'Python'),(-100.75,46.7666666666667,'Java'), (-84.5166666666667,39.15,'Java'),(-81.85,41.4,'Java'),(-82.8833333333333,40,'Java'),(-97.6,35.4,'Python'), (-122.666666666667,45.5333333333333,'Python'),(-75.25,39.8833333333333,'Python'),(-80.2166666666667,40.5,'Python'), (-71.4333333333333,41.7333333333333,'R'),(-81.1166666666667,33.95,'R'),(-96.7333333333333,43.5666666666667,'Python'), (-90,35.05,'R'),(-86.6833333333333,36.1166666666667,'R'),(-97.7,30.3,'Python'),(-96.85,32.85,'Java'), (-98.4666666666667,29.5333333333333,'Java'),(-111.966666666667,40.7666666666667,'Python'),(-73.15,44.4666666666667,'R'), (-77.3333333333333,37.5,'Python'),(-122.3,47.5333333333333,'Python'),(-95.9,41.3,'Python'),(-95.35,29.9666666666667,'Java'), (-89.3333333333333,43.1333333333333,'R'),(-104.816666666667,41.15,'Java')]cities = [([longitude,latitude],language) for longitude,latitude,language in cities]# plot_state_bordersimport resegments = []points = []lat_long_regex = r""): for p1, p2 in zip(points, points[1:]): segments.append((p1, p2)) points = [] s = re.search(lat_long_regex, line) if s: lat, lon = s.groups() points.append((float(lon), float(lat)))defplot_state_borders(plt, color='0.8'): for (lon1, lat1), (lon2, lat2) in segments: plt.plot([lon1, lon2], [lat1, lat2], color=color)# key is language, value is pairplots = {"Java":([],[]),"Python":([],[]),"R":([],[])}#mark and colormarkers = {"Java":"o","Python":"s","R":"^"}colors = {"Java":"r","Python":"b","R":"g"}for (logitude,latitude),language in cities: plots[language][0].append(logitude) plots[language][1].append(latitude) # create a scatter series for each languagefor language,(x,y) in plots.iteritems(): plt.scatter(x,y,color = colors[language],marker = markers[language],label = language,zorder = 10) plot_state_borders(plt)plt.legend(loc = 0)plt.axis([-130,-60,20,55])plt.title("Favorite Programming Languages")plt.show()

# try several different values for kfor k in [1,3,5,7]: num_correct = 0 for city in cities: location,actual_language = city other_cities = [other_city for other_city in cities if other_city != city] predicted_language = knn_classify(k,other_cities,location) if predicted_language == actual_language: num_correct += 1 print k,"neighbor[s]:",num_correct,"correct out of ",len(cities)1 neighbor[s]: 40 correct out of 753 neighbor[s]: 44 correct out of 755 neighbor[s]: 41 correct out of 757 neighbor[s]: 35 correct out of 75