實(shí)序列的z變換為什么會(huì)出現(xiàn)一對(duì)相互共軛的復(fù)數(shù)零點(diǎn)？

實(shí)序列的Z變換是一種離散時(shí)間傅里葉變換，用于將離散時(shí)間域中的信號(hào)轉(zhuǎn)換為復(fù)平面的頻率域表示。實(shí)序列是指其值只能是實(shí)數(shù)的序列，而復(fù)數(shù)則由實(shí)數(shù)和虛數(shù)構(gòu)成。當(dāng)對(duì)一個(gè)實(shí)序列進(jìn)行Z變換時(shí)，通常會(huì)得到頻域表示中的一對(duì)相互共軛的復(fù)數(shù)零點(diǎn)。

要理解為什么會(huì)在實(shí)序列的Z變換中存在一對(duì)相互共軛的復(fù)數(shù)零點(diǎn)，首先需要理解Z變換的定義和一些基本概念。

Z變換是一種將離散時(shí)間信號(hào)轉(zhuǎn)換到復(fù)頻率域的方法，它類似于連續(xù)時(shí)間傅里葉變換（CTFT）。Z變換的定義可以表示為：

X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n)z^{-n}

其中，X(z)是復(fù)變量z的函數(shù)，x(n)是離散時(shí)間序列（即輸入信號(hào)），z是一個(gè)復(fù)數(shù)變量。

當(dāng)我們將實(shí)序列x(n)進(jìn)行Z變換時(shí)，我們可以將其表示為實(shí)部和虛部之和的形式：

X(z) = F(z) + G(z)i

其中，F(xiàn)(z)和G(z)是關(guān)于z的多項(xiàng)式函數(shù)，表示序列在實(shí)軸上的變換，i是虛數(shù)單位。

當(dāng)F(z)和G(z)都是實(shí)系數(shù)的多項(xiàng)式時(shí)，我們可以將其分解為共軛復(fù)數(shù)根和實(shí)根的乘積。

我們已經(jīng)知道，對(duì)于當(dāng)序列是實(shí)序列時(shí)，其Z變換是一個(gè)復(fù)平面上的函數(shù)，因此它的零點(diǎn)可以是復(fù)數(shù)。而實(shí)序列的Z變換具有兩個(gè)重要的特點(diǎn)，即對(duì)稱性和共軛性。

首先，我們來(lái)看看對(duì)稱性。當(dāng)一個(gè)實(shí)序列的Z變換是F(z) + G(z)i的形式時(shí)，其中F(z)和G(z)都是關(guān)于z的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式函數(shù)。由于實(shí)序列的輸入信號(hào)只能取實(shí)值，因此實(shí)序列的Z變換具有對(duì)稱性，即它關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱。這也意味著，如果一個(gè)復(fù)數(shù)z是Z變換的零點(diǎn)，那么它的復(fù)共軛z*也是零點(diǎn)。

其次，我們來(lái)看看共軛性。當(dāng)對(duì)實(shí)序列進(jìn)行Z變換時(shí)，Z變換函數(shù)可以表示為F(z) + G(z)i的形式，其中F(z)和G(z)都是關(guān)于z的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式函數(shù)。由于F(z)和G(z)都是實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式函數(shù)，所以它們的零點(diǎn)可以是實(shí)數(shù)或復(fù)共軛對(duì)。因此，當(dāng)一個(gè)復(fù)數(shù)z是Z變換的零點(diǎn)時(shí)，它的復(fù)共軛z*也是零點(diǎn)。這就是為什么在實(shí)序列的Z變換中，會(huì)出現(xiàn)一對(duì)相互共軛的復(fù)數(shù)零點(diǎn)。

為了更好地理解這個(gè)概念，讓我們來(lái)考慮一個(gè)具體的實(shí)序列及其Z變換的例子。

假設(shè)我們有一個(gè)實(shí)序列x(n) = [1, 2, 3, 4]，我們將其進(jìn)行Z變換得到序列X(z)。

X(z) = 1 + 2z^{-1} + 3z^{-2} + 4z^{-3}

通過(guò)對(duì)這個(gè)序列進(jìn)行分解，我們可以將其表示為實(shí)部和虛部的和：

X(z) = (1 + 3z^{-2}) + (2z^{-1} + 4z^{-3})i

從這個(gè)例子中我們可以看到，這個(gè)Z變換序列具有一對(duì)相互共軛的復(fù)數(shù)零點(diǎn)：z = e^{j\pi/3}和z = e^{-j\pi/3}。這兩個(gè)復(fù)數(shù)零點(diǎn)是相互共軛的，并且它們的模長(zhǎng)相等，都是1，即它們都在單位圓上。

這兩個(gè)復(fù)數(shù)零點(diǎn)代表了輸入實(shí)序列中的頻率成分，它們對(duì)應(yīng)于Z變換中的極點(diǎn)。在頻率域中，這兩個(gè)復(fù)數(shù)零點(diǎn)對(duì)應(yīng)于共振點(diǎn)或共振頻率。這意味著在實(shí)序列的輸入信號(hào)中存在某種特定的頻率成分，對(duì)應(yīng)于這兩個(gè)復(fù)數(shù)零點(diǎn)。

總結(jié)而言，實(shí)序列的Z變換會(huì)出現(xiàn)一對(duì)相互共軛的復(fù)數(shù)零點(diǎn)是由于實(shí)序列的輸入信號(hào)在頻率域中存在某種特定的頻率成分。這對(duì)復(fù)數(shù)零點(diǎn)反映了序列具有對(duì)稱和共軛的特點(diǎn)，并且對(duì)應(yīng)于輸入信號(hào)中的共振頻率。