認識矩陣

矩陣是向量的集合，把多個向量組織在一起就構成了一個矩陣。例如在三維空間內，有A、B、C三個向量。

將A、B、C三個向量按照行的方式組織在一起構成了矩陣M：

將A、B、C三個向量按照列的方式組織在一起構成了矩陣T：

矩陣M的向量稱為行向量，矩陣T的向量稱為列向量。下面給出矩陣的定義：

矩陣是由m X n個數aij排列成的m行n列的數表，稱為m行n列矩陣，簡稱m X n 矩陣。矩陣表示如下：

在上述定義中，可以把矩陣A看作是由m個：

向量構成的。

如果矩陣的行和列相同，即矩陣是由n X n個數aij排列成的n行n列的數表，稱為n階矩陣。

矩陣的轉置運算

前面的矩陣M和矩陣T可以互相轉換，這種轉換稱為矩陣的轉置運算。矩陣的轉置就是把矩陣的行列互換，行變成列，列變成行。例如對M矩陣行列互換后，就構成了矩陣T。

下面給出矩陣的轉置概念：

把m X n矩陣A的行列依次互換得到n X m矩陣，稱為矩陣A的轉置矩陣，記作AT。

矩陣的轉置運算滿足下面的運算律：

（AT）T = A

轉置矩陣的轉置矩陣是原矩陣。

（A + B）T = AT + BT

A與B和的轉置矩陣等于A的轉置矩陣與B的轉置矩陣的和。

（AB）T = BTAT

A與B矩陣積的轉置矩陣等于B的轉置矩陣與A的轉置的積（順序不能顛倒）。

矩陣的加法運算

設有矩陣A和矩陣B：

如何計算A+B和A-B呢？

兩個矩陣進行加法和減法運算有一個前提條件，就是兩個矩陣的行數和列數相同，在這種情況下，兩個矩陣相加和相減的結果是一個新的矩陣，新矩陣的行數和列數和原來矩陣的行列數相同，其元素分別是兩個矩陣對應元素的和值和差值。

矩陣的加法和減法運算可以看作矩陣內對應向量的加法或減法運算。例如在計算A+B的過程中，A的列向量或行向量分別與B的列向量或行向量相加，結果是新矩陣的列向量或行向量。

純量與矩陣的乘法運算

純量與矩陣相乘，結果矩陣與原矩陣的行列數相同，其元素的值是原矩陣中每個對應元素與純量相乘的數值。

（-1）* B的計算過程如下所示：

例1：編寫Python程序，實現前面矩陣A和B的加法運算和減法運算。

在Python程序中，使用嵌套列表定義一個二維數組，這個二維數組就是一個矩陣。

#使用嵌套列表定義矩陣A和B

A = [[-1,3,2],[5,7,-2],[-3,0,1]]

B = [[8,2,-1],[6,4,0],[-2,3,5]]

#定義矩陣C，存儲A+B的結果

C = [[0,0,0],[0,0,0],[0,0,0]]

#定義矩陣D，存儲A-B的結果

D = [[0,0,0],[0,0,0],[0,0,0]]

遍歷A矩陣的行

for i in range(len(A)):

遍歷A矩陣的列

for j in range(len(A[0])):

C[i][j] = A[i][j] + B[i][j]

D[i][j] = A[i][j] - B[i][j]

print(C)

print(D)

在實際應用中，一般使用numpy對矩陣進行運算。

導入numpy模塊

import numpy as np

定義矩陣

A = np.array([[-1,3,2],[5,7,-2],[-3,0,1]])

B = np.array([[8,2,-1],[6,4,0],[-2,3,5]])

矩陣運算

print(A+B)

print(A-B)

矩陣的線性變換

變換本質是一個函數，它是一個映射，它接受輸入內容并輸出對應結果。

例如函數：

當x取不同實數時，都會有唯一對應的輸出結果來對應輸入的x。

對線性代數來說，變換是接受一個向量，并輸出一個向量。在線性代數中，一個向量到另外一個向量的映射之所以稱為變換，不稱為函數，是因為考慮到了向量的變換實際是向量的運動。

如：二維空間的向量A到向量B的變換，實際是向量A通過變換移動到了向量B的位置。

A =(10,0,60.0) B=(56.6,22.3)

圖中向量A到向量B的變換是一種旋轉變換，該變換為線性變換，它滿足下面的性質。

設旋轉變換為T，對線性空間V中的任意向量A和B及實數k，均有

T（A+B）= T（A）+T（B）

T（kA） = kT（A）

要驗證旋轉變換是否是線性變換，需要求出變換T，看變換T是否滿足線性變換的兩個性質。下圖是二維空間向量V圍繞原點逆時針旋轉的示意圖。

如上圖所示，向量V繞原點逆時針旋轉θ角，得到向量V’，假設向量V=(x,y)，則向量V’為：

旋轉變換T為：

若T是線性變換，應滿足線性變換的兩個性質。下面我們用Python程序來驗證T是線性變換。驗證代碼如下：

import numpy as np




# 定義向量A
A = np.array([3,2])
# 定義向量B
B = np.array([-1,5])
# 定義純量K
k = 3.14
# 定義旋轉角度
r = 30




# 定義變換T函數
# v:向量  a:旋轉的角度
def T(v,a):
# 轉換為弧度
a = a / 180 * np.pi
# 向量v旋轉a到m
m = np.array([v[0]*np.cos(a)-v[1]*np.sin(a),
v[0]*np.sin(a)+v[1]*np.cos(a)])
return m




print("T(A+B)=T(A)+T(B):%s:%s" % (str(T(A+B,r)),str(T(A,r)+T(B,r))))
print("kT(A)=T(kA):%s:%s" % (str(k*T(A,r)),str(T(k*A,r))))

輸出結果如下圖所示：

旋轉變換T可以用矩陣表示，T也稱為旋轉變換矩陣：

計算向量V到向量V’的轉換可以使用矩陣乘法：

使用矩陣乘法可以對多個二維向量組進行旋轉：

Python代碼如下：

import numpy as np
#定義旋轉矩陣T
# a:旋轉角度
def T(a):
# 轉換為弧度
a = a / 180 * np.pi
return np.array([
[np.cos(a),-np.sin(a)],
[np.sin(a),np.cos(a)]
])




# 定義矩陣A
# 矩陣A為待旋轉的向量組
A = np.array([[3,2],
[-1,5],
[5,-2],
[2,-3],
[1,-1]
])
# 對矩陣A進行轉置再相乘
C = np.matmul(T(30),np.transpose(A))
print(C)

輸出結果如下圖所示：