短時(shí)傅里葉變換和小波變換差別

短時(shí)傅里葉變換（short-time Fourier transform，STFT）和小波變換（wavelet transform）是兩種常見的信號(hào)處理技術(shù)，它們?cè)陬l域分析、信號(hào)壓縮、特征提取等領(lǐng)域都有廣泛應(yīng)用，本文將詳細(xì)介紹它們的差別和優(yōu)缺點(diǎn)。

一、基本概念

1、傅里葉變換

傅里葉變換（Fourier transform，F(xiàn)T）是將時(shí)域信號(hào)轉(zhuǎn)換到頻域的一種數(shù)學(xué)變換，它可以分解一個(gè)信號(hào)成為若干個(gè)正弦、余弦波的疊加。傅里葉變換可以表示一個(gè)連續(xù)周期信號(hào)的頻率分量，但無法滿足實(shí)際中非周期信號(hào)的頻率分析需求。

2、短時(shí)傅里葉變換

短時(shí)傅里葉變換（short-time Fourier transform，STFT）是將一個(gè)信號(hào)分成若干個(gè)時(shí)窗，對(duì)每個(gè)時(shí)窗通過傅里葉變換來得到局部頻譜，從而達(dá)到了對(duì)非周期信號(hào)的頻域分析。

3、小波變換

小波變換（wavelet transform）是一種基于時(shí)間-頻率局部化分析的信號(hào)處理技術(shù)，與傅里葉變換相比，小波變換具有更好的時(shí)域局部性和尺度分析能力。小波變換將信號(hào)分解為若干個(gè)小波基函數(shù)，每個(gè)小波基函數(shù)具有不同的頻率分辨率和時(shí)間分辨率。

二、原理及實(shí)現(xiàn)

1、STFT的原理及實(shí)現(xiàn)

STFT首先將信號(hào)分成若干個(gè)長(zhǎng)度相同的時(shí)窗，每個(gè)時(shí)窗信號(hào)參與傅里葉變換，再將每個(gè)時(shí)窗的頻域圖像進(jìn)行時(shí)移和疊加得到整個(gè)信號(hào)的時(shí)頻圖像。STFT的主要思想是在頻域上分割非平穩(wěn)信號(hào)的FFT譜，通過對(duì)不同時(shí)間窗口進(jìn)行傅里葉變換來獲得時(shí)頻信息。

STFT的公式為：

$$
X(m, n) = \sum_{k=nW}^{(n+1)W-1} x(k)w(k-m),n=0,1,2...,N-1
$$
其中$m$表示頻率序號(hào)，$n$表示時(shí)間序號(hào)，$w$為加窗函數(shù)，$W$表示窗口長(zhǎng)度。

2、小波變換的原理及實(shí)現(xiàn)

小波變換將信號(hào)分解成平移、伸縮的小波函數(shù)，利用這些小波函數(shù)對(duì)信號(hào)進(jìn)行分解、壓縮等操作，可以提供一種新的多分辨率的頻率分析方法。小波變換的主要優(yōu)勢(shì)是可以同時(shí)獲得頻域和時(shí)域信息。

小波變換的公式為：

$$
X(a,b) = \frac{1}{\sqrt{a}}\int_{-\infty}^\infty x(t)\Psi(\frac{t-b}{a}) dt
$$
其中，$a$表示縮放因子，$b$表示位移因子，$\Psi$表示小波基函數(shù)。

三、差別和優(yōu)缺點(diǎn)

1、差別

（1）算法思想：STFT是基于傅里葉變換的時(shí)間-頻率分解算法，而小波變換是改變縮放和平移參數(shù)的數(shù)學(xué)方法。

（2）時(shí)域特性：STFT的頻域分辨率固定，時(shí)域分辨率與窗口長(zhǎng)度有關(guān)，而小波變換可以根據(jù)尺度變化對(duì)局部頻域和時(shí)域進(jìn)行逐漸的調(diào)整。

（3）尺度分析：小波變換具有多尺度分析能力，可以分析出各個(gè)尺度下的頻域信息，而STFT只能通過多次傅里葉變換來獲取多尺度信息。

2、優(yōu)缺點(diǎn)

（1）STFT的優(yōu)點(diǎn)：能夠?qū)Ψ侵芷谛盘?hào)進(jìn)行頻域分析，保留了時(shí)域和頻域的信息，容易理解，計(jì)算速度較快。

（2）STFT的缺點(diǎn)：時(shí)頻分辨率不均勻，窗口長(zhǎng)度固定，對(duì)信號(hào)特征的提取較為粗糙，對(duì)高頻分量較為敏感。

（3）小波變換的優(yōu)點(diǎn)：具有良好的尺度和時(shí)頻局部化性質(zhì)，適用于多時(shí)、多頻分析，對(duì)信號(hào)中高頻分量的分析更均勻，對(duì)特征提取、壓縮等應(yīng)用有較好的效果。

（4）小波變換的缺點(diǎn)：算法復(fù)雜度較高，對(duì)初學(xué)者來說理解起來相對(duì)困難。

綜合來看，STFT適用于對(duì)頻譜密集的信號(hào)進(jìn)行分析，如音頻等。小波變換則更加適用于非平穩(wěn)信號(hào)分析，尤其是對(duì)小信號(hào)特征的提取和壓縮。兩種方法可以相互補(bǔ)充，常在實(shí)際應(yīng)用中混合使用。