在洛杉磯蓋蒂博物館的藏品中，有一幅17世紀古希臘數學家歐幾里得的肖像：衣衫襤褸、蓬頭垢面，雙手沾滿污垢，舉著他的幾何學著作《幾何原本》。

兩千多年來，歐幾里得的著作一直是數學論證和推理的典范。

卡內基梅隆大學邏輯學家Jeremy Avigad說：「眾所周知，歐幾里得以近乎詩意的 [定義] 開始。然后，他在此基礎上建立了當時的數學，使用基本概念、定義和先驗定理，以這樣一種方式證明事物，即每一步都 [清晰地遵循] 前一步。」

Avigad博士說，有人抱怨歐幾里得的一些「明顯」步驟并不明顯，但該系統仍然有效。

但到了20世紀，數學家不再愿意將數學建立在這種直觀的幾何基礎上。相反，他們開發了正式的系統——精確的符號表示、機械規則。最終，這種形式化使得數學能夠轉化為計算機代碼。

1976年，四色定理（該定理指出四種顏色足以填充地圖，因此沒有兩個相鄰區域具有相同的顏色）成為第一個借助計算強力證明的主要定理。

現在，數學家們正在努力應對最新的變革力量：人工智能。

2019年，曾在谷歌工作、現就職于舊金山灣區一家初創企業的計算機科學家Christian Szegedy預測，計算機系統將在十年內趕上或超過人類最優秀數學家解決問題的能力。去年他將目標日期修改為2026年。

普林斯頓高等研究院數學家、2018年菲爾茲獎獲得者Akshay Venkatesh目前對使用人工智能不感興趣，但他熱衷于談論它?！肝蚁Ｍ业膶W生意識到他們所處的領域將會發生很大的變化，」他在去年的一次采訪中說道。他最近補充道：「我并不反對深思熟慮和刻意地使用技術來支持我們人類的理解。但我堅信，注意我們使用它的方式是至關重要的。」

二月，Avigad博士參加了在加州大學洛杉磯分校純粹與應用數學研究所舉辦的「機器輔助證明」研討會。這次聚會吸引了數學家和計算機科學家的非典型組合。「這感覺很重要，」該大學數學家、2006年菲爾茲獎獲得者、研討會的主要組織者Terence Tao說。

Tao博士指出，直到最近幾年，數學家們才開始擔心人工智能的潛在威脅，無論是對數學美學還是對他們自己。他說，著名的社區成員現在正在提出這些問題并探索潛在的「打破禁忌」。一位引人注目的研討會參與者坐在前排：一個名為「舉手機器人」的梯形盒子，每當在線參與者提出問題時，它就會發出機械的低語并舉起手?！溉绻?a href="http://www.solar-ruike.com.cn/soft/data/42-101/" target="_blank">機器人可愛且不具有威脅性，那就很有幫助，」Tao博士說。

帶來「證明抱怨者」

如今，優化我們生活的小工具并不缺乏——飲食、睡眠、鍛煉。威斯康星大學麥迪遜分校數學家Jordan Ellenberg在研討會休息期間說：「我們喜歡給自己附加一些東西，以便更容易把事情做好?！?他補充說，人工智能設備可能也會對數學產生同樣的影響?！负苊黠@，問題是，機器能為我們做什么，而不是機器會對我們做什么。」

一種數學小工具稱為證明助手，或交互式定理證明器。（「自動化」是20世紀60年代的早期化身。）數學家一步步將證明轉化為代碼；然后軟件程序檢查推理是否正確。驗證積累在一個庫中，這是其他人可以查閱的動態規范參考。霍斯金森形式數學中心（由加密貨幣企業家Charles Hoskinson資助）主任 Avigad 博士說，這種形式化為當今的數學奠定了基礎，「就像歐幾里得試圖編纂和整理數學一樣。為他那個時代的數學奠定了基礎。」

最近，開源證明輔助系統Lean備受關注。Lean由現任職于亞馬遜的計算機科學家Leonardo de Moura在微軟開發，Lean使用自動推理，由所謂的老式人工智能 (GOFAI) 提供支持，即受邏輯啟發的符號人工智能。到目前為止，Lean社區已經驗證了一個關于將球體翻轉的有趣定理，以及統一數學領域方案中的一個關鍵定理以及其他策略。

但證明助手也有缺點：它經常抱怨自己不理解數學家輸入的定義、公理或推理步驟，因此它被稱為「證明抱怨者」。所有這些抱怨會使研究變得麻煩。但是福特漢姆大學的數學家Heather Macbeth說，同樣的功能（提供逐行反饋）也使該系統對教學很有用。

今年春天，Macbeth博士設計了一門「雙語」課程：她把黑板上的每個問題都翻譯成課堂講稿上的Lean代碼，學生們用Lean和散文兩種語言提交作業問題的解決方案?！高@給了他們信心，」Macbeth博士說，因為他們得到了即時的反饋，知道證明何時完成，以及過程中的每一步是對還是錯。

參加研討會后，約翰霍普金斯大學的數學家Emily Riehl使用了一個實驗性的證明助理程序，將她之前與一位合著者發表的證明正式化。在一次驗證結束時，她說，「我真的非常非常深入地理解了這個證明，比我以前理解的要深入得多。我想得很清楚，我可以向一臺非常愚蠢的計算機解釋。」

蠻力推理——但它是數學嗎？

卡內基梅隆大學計算機科學家、亞馬遜學者Marijn Heule使用的另一種自動推理工具是他俗稱的「暴力推理」（brute reasoning）。他說，只要用精心設計的編碼來說明你想要找到哪個「奇異物體」，超級計算機網絡就會在搜索空間中進行攪動，并確定該實體是否存在。

就在研討會之前，Heule博士和他的一位博士。學生Bernardo Subercaseaux最終解決了一個長期存在的50 TB文件問題的解決方案。然而，該文件與 Heule 博士及其合作者在2016年得出的結果幾乎沒有可比性：「200 TB的數學證明是有史以來最大的」，《Nature》雜志的一個標題宣布。文章接著問，用這些工具解決問題是否真的算作數學。在Heule博士看來，這種方法是「解決人類無法解決的問題」所必需的。

另一組工具使用機器學習，它可以合成大量數據并檢測模式，但不擅長邏輯、逐步推理。谷歌的DeepMind設計了機器學習算法來解決蛋白質折疊 (AlphaFold) 和國際象棋獲勝 (AlphaZero) 等問題。在2021年《Nature》雜志的一篇論文中，一個團隊將他們的成果描述為「通過人工智能指導人類直覺來推進數學發展」。

前谷歌計算機科學家、現在在灣區創業的Yuhuai 「Tony」 Wu概述了一個更宏偉的機器學習目標：「解決數學問題」。在谷歌，Wu博士探索了支持聊天機器人的大型語言模型如何幫助數學。該團隊使用的模型經過互聯網數據訓練，然后使用數學和科學論文的在線存檔等富含數學的大型數據集進行微調。Wu博士在研討會上說，當用日常英語要求解決數學問題時，這個名為Minerva的專門聊天機器人「非常擅長模仿人類」。該模型在高中數學考試中獲得的成績優于16歲學生的平均成績。

Wu博士說，最終，他設想了一位「自動化數學家」，具有「自行解決數學定理的能力」。

數學作為試金石

數學家們對這些干擾做出了不同程度的關注。

哥倫比亞大學的Michael Harris在他的「Silicon Reckoner」子堆棧中表達了疑慮。他對研究數學與科技和國防工業之間潛在的沖突目標和價值觀感到困擾。

Harris博士對缺乏對人工智能更大影響的討論表示遺憾。數學研究，特別是「與正在進行的非常活躍的對話相比」，「除了數學之外，幾乎無處不在」。

DeepMind合作者、悉尼大學的Geordie Williamson在N.A.S. 發表了講話。聚集并鼓勵數學家和計算機科學家更多地參與此類對話。在洛杉磯的研討會上，他以改編自喬治·奧威爾1945年文章「You and the Atom Bomb」的一句話開始了自己的演講。Williamson博士說：「考慮到我們所有人在未來五年內都可能受到深刻影響，深度學習并沒有引起像預期的那樣多的討論。」

Williamson博士認為數學是機器學習能做什么或不能做什么的試金石。推理是數學過程的精髓，也是機器學習中尚未解決的關鍵問題。

Williamson博士在接受采訪時表示，在與DeepMind合作的早期，該團隊發現了一個簡單的神經網絡，它可以預測「我非常關心的數學量」，而且它的預測「準確得可笑」。Williamson博士努力想要理解其中的原因——這將成為一個定理的基礎——但是卻無法理解。DeepMind的任何人都做不到。就像古代幾何學家歐幾里得一樣，神經網絡以某種方式直觀地辨別出了數學真理，但其邏輯「原因」卻遠非顯而易見。

在洛杉磯研討會上，一個突出的主題是如何將直覺和邏輯結合起來。如果人工智能能同時做到這兩件事，一切都將迎刃而解。

但是，Williamson博士觀察到，人們很少有動力去理解機器學習所呈現的黑匣子。他說：「這是科技界的黑客文化，如果它在大部分時間都有效，那就太好了?！沟@種情況讓數學家們感到不滿。

他補充說，試圖理解神經網絡內部發生的事情會引發「令人著迷的數學問題」，而尋找答案為數學家「為世界做出有意義的貢獻」提供了機會。