什么是卡爾曼濾波?

你可以在任何含有不確定信息的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)中使用卡爾曼濾波，對系統(tǒng)下一步的走向做出有根據(jù)的預(yù)測，即使伴隨著各種干擾，卡爾曼濾波總是能指出真實(shí)發(fā)生的情況。

在連續(xù)變化的系統(tǒng)中使用卡爾曼濾波是非常理想的，它具有占用內(nèi)存小的優(yōu)點(diǎn)(除了前一個(gè)狀態(tài)量外，不需要保留其它歷史數(shù)據(jù))，并且速度很快，很適合應(yīng)用于實(shí)時(shí)問題和嵌入式系統(tǒng)。

在Google上找到的大多數(shù)關(guān)于實(shí)現(xiàn)卡爾曼濾波的數(shù)學(xué)公式看起來有點(diǎn)晦澀難懂，這個(gè)狀況有點(diǎn)糟糕。

實(shí)際上，如果以正確的方式看待它，卡爾曼濾波是非常簡單和容易理解的，下面我將用漂亮的圖片和色彩清晰的闡述它，你只需要懂一些基本的概率和矩陣的知識(shí)就可以了。

我們能用卡爾曼濾波做什么?

用玩具舉例：你開發(fā)了一個(gè)可以在樹林里到處跑的小機(jī)器人，這個(gè)機(jī)器人需要知道它所在的確切位置才能導(dǎo)航。

我們可以說機(jī)器人有一個(gè)狀態(tài)，表示位置和速度：

注意這個(gè)狀態(tài)只是關(guān)于這個(gè)系統(tǒng)基本屬性的一堆數(shù)字，它可以是任何其它的東西。在這個(gè)例子中是位置和速度，它也可以是一個(gè)容器中液體的總量，汽車發(fā)動(dòng)機(jī)的溫度，用戶手指在觸摸板上的位置坐標(biāo)，或者任何你需要跟蹤的信號。

這個(gè)機(jī)器人帶有GPS，精度大約為10米，還算不錯(cuò)，但是，它需要將自己的位置精確到10米以內(nèi)。樹林里有很多溝壑和懸崖，如果機(jī)器人走錯(cuò)了一步，就有可能掉下懸崖，所以只有GPS是不夠的。

或許我們知道一些機(jī)器人如何運(yùn)動(dòng)的信息：例如，機(jī)器人知道發(fā)送給電機(jī)的指令，知道自己是否在朝一個(gè)方向移動(dòng)并且沒有人干預(yù)，在下一個(gè)狀態(tài)，機(jī)器人很可能朝著相同的方向移動(dòng)。

當(dāng)然，機(jī)器人對自己的運(yùn)動(dòng)是一無所知的：它可能受到風(fēng)吹的影響，輪子方向偏了一點(diǎn)，或者遇到不平的地面而翻倒。所以，輪子轉(zhuǎn)過的長度并不能精確表示機(jī)器人實(shí)際行走的距離，預(yù)測也不是很完美。

GPS 傳感器告訴了我們一些狀態(tài)信息，我們的預(yù)測告訴了我們機(jī)器人會(huì)怎樣運(yùn)動(dòng)，但都只是間接的，并且伴隨著一些不確定和不準(zhǔn)確性。

但是，如果使用所有對我們可用的信息，我們能得到一個(gè)比任何依據(jù)自身估計(jì)更好的結(jié)果嗎?回答當(dāng)然是YES，這就是卡爾曼濾波的用處。

卡爾曼濾波是如何看到你的問題的

下面我們繼續(xù)以只有位置和速度這兩個(gè)狀態(tài)的簡單例子做解釋。 我們并不知道實(shí)際的位置和速度，它們之間有很多種可能正確的組合，但其中一些的可能性要大于其它部分：


卡爾曼濾波假設(shè)兩個(gè)變量(位置和速度，在這個(gè)例子中)都是隨機(jī)的，并且服從高斯分布。每個(gè)變量都有一個(gè)均值 μ，表示隨機(jī)分布的中心(最可能的狀態(tài))，以及方差，表示不確定性。



在上圖中，位置和速度是不相關(guān)的，這意味著由其中一個(gè)變量的狀態(tài)無法推測出另一個(gè)變量可能的值。

下面的例子更有趣：位置和速度是相關(guān)的，觀測特定位置的可能性取決于當(dāng)前的速度：



這種情況是有可能發(fā)生的，例如，我們基于舊的位置來估計(jì)新位置。如果速度過高，我們可能已經(jīng)移動(dòng)很遠(yuǎn)了。如果緩慢移動(dòng)，則距離不會(huì)很遠(yuǎn)。

跟蹤這種關(guān)系是非常重要的，因?yàn)樗鼛Ыo我們更多的信息：其中一個(gè)測量值告訴了我們其它變量可能的值，這就是卡爾曼濾波的目的，盡可能地在包含不確定性的測量數(shù)據(jù)中提取更多信息! 這種相關(guān)性用協(xié)方差矩陣來表示，簡而言之，矩陣中的每個(gè)元素表示第 i 個(gè)和第 j 個(gè)狀態(tài)變量之間的相關(guān)度。(你可能已經(jīng)猜到協(xié)方差矩陣是一個(gè)對稱矩陣，這意味著可以任意交換 i 和 j)。協(xié)方差矩陣通常用“”來表示，其中的元素則表示為“”。

使用矩陣來描述問題

我們基于高斯分布來建立狀態(tài)變量，所以在時(shí)刻 k 需要兩個(gè)信息：最佳估計(jì)(即均值，其它地方常用 μ 表示)，以及協(xié)方差矩陣。

(1)

(當(dāng)然，在這里我們只用到了位置和速度，實(shí)際上這個(gè)狀態(tài)可以包含多個(gè)變量，代表任何你想表示的信息)。接下來，我們需要根據(jù)當(dāng)前狀態(tài)(k-1 時(shí)刻)來預(yù)測下一狀態(tài)(k 時(shí)刻)。記住，我們并不知道對下一狀態(tài)的所有預(yù)測中哪個(gè)是“真實(shí)”的，但我們的預(yù)測函數(shù)并不在乎。它對所有的可能性進(jìn)行預(yù)測，并給出新的高斯分布。

我們可以用矩陣來表示這個(gè)預(yù)測過程：

它將我們原始估計(jì)中的每個(gè)點(diǎn)都移動(dòng)到了一個(gè)新的預(yù)測位置，如果原始估計(jì)是正確的話，這個(gè)新的預(yù)測位置就是系統(tǒng)下一步會(huì)移動(dòng)到的位置。那我們又如何用矩陣來預(yù)測下一個(gè)時(shí)刻的位置和速度呢?下面用一個(gè)基本的運(yùn)動(dòng)學(xué)公式來表示：

現(xiàn)在，我們有了一個(gè)預(yù)測矩陣來表示下一時(shí)刻的狀態(tài)，但是，我們?nèi)匀徊恢涝趺锤聟f(xié)方差矩陣。此時(shí)，我們需要引入另一個(gè)公式，如果我們將分布中的每個(gè)點(diǎn)都乘以矩陣 A，那么它的協(xié)方差矩陣會(huì)怎樣變化呢?很簡單，下面給出公式：

結(jié)合方程(4)和(3)得到：

外部控制量

我們并沒有捕捉到一切信息，可能存在外部因素會(huì)對系統(tǒng)進(jìn)行控制，帶來一些與系統(tǒng)自身狀態(tài)沒有相關(guān)性的改變。
以火車的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)模型為例，火車司機(jī)可能會(huì)操縱油門，讓火車加速。相同地，在我們機(jī)器人這個(gè)例子中，導(dǎo)航軟件可能會(huì)發(fā)出一個(gè)指令讓輪子轉(zhuǎn)向或者停止。如果知道這些額外的信息，我們可以用一個(gè)向量來表示，將它加到我們的預(yù)測方程中做修正。

假設(shè)由于油門的設(shè)置或控制命令，我們知道了期望的加速度，根據(jù)基本的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程可以得到：

以矩陣的形式表示就是：

稱為控制矩陣，稱為控制向量(對于沒有外部控制的簡單系統(tǒng)來說，這部分可以忽略)。讓我們再思考一下，如果我們的預(yù)測并不是100%準(zhǔn)確的，該怎么辦呢?

外部干擾

如果這些狀態(tài)量是基于系統(tǒng)自身的屬性或者已知的外部控制作用來變化的，則不會(huì)出現(xiàn)什么問題。

但是，如果存在未知的干擾呢?例如，假設(shè)我們跟蹤一個(gè)四旋翼飛行器，它可能會(huì)受到風(fēng)的干擾，如果我們跟蹤一個(gè)輪式機(jī)器人，輪子可能會(huì)打滑，或者路面上的小坡會(huì)讓它減速。這樣的話我們就不能繼續(xù)對這些狀態(tài)進(jìn)行跟蹤，如果沒有把這些外部干擾考慮在內(nèi)，我們的預(yù)測就會(huì)出現(xiàn)偏差。

在每次預(yù)測之后，我們可以添加一些新的不確定性來建立這種與“外界”(即我們沒有跟蹤的干擾)之間的不確定性模型：

原始估計(jì)中的每個(gè)狀態(tài)變量更新到新的狀態(tài)后，仍然服從高斯分布。我們可以說的每個(gè)狀態(tài)變量移動(dòng)到了一個(gè)新的服從高斯分布的區(qū)域，協(xié)方差為。換句話說就是，我們將這些沒有被跟蹤的干擾當(dāng)作協(xié)方差為的噪聲來處理。

這產(chǎn)生了具有不同協(xié)方差(但是具有相同的均值)的新的高斯分布。

我們通過簡單地添加得到擴(kuò)展的協(xié)方差，下面給出預(yù)測步驟的完整表達(dá)式：

由上式可知，新的最優(yōu)估計(jì)是根據(jù)上一最優(yōu)估計(jì)預(yù)測得到的，并加上已知外部控制量的修正。

而新的不確定性由上一不確定性預(yù)測得到，并加上外部環(huán)境的干擾。

好了，我們對系統(tǒng)可能的動(dòng)向有了一個(gè)模糊的估計(jì)，用和來表示。如果再結(jié)合傳感器的數(shù)據(jù)會(huì)怎樣呢?

用測量值來修正估計(jì)值

我們可能會(huì)有多個(gè)傳感器來測量系統(tǒng)當(dāng)前的狀態(tài)，哪個(gè)傳感器具體測量的是哪個(gè)狀態(tài)變量并不重要，也許一個(gè)是測量位置，一個(gè)是測量速度，每個(gè)傳感器間接地告訴了我們一些狀態(tài)信息。

注意，傳感器讀取的數(shù)據(jù)的單位和尺度有可能與我們要跟蹤的狀態(tài)的單位和尺度不一樣，我們用矩陣來表示傳感器的數(shù)據(jù)。

我們可以計(jì)算出傳感器讀數(shù)的分布，用之前的表示方法如下式所示：

卡爾曼濾波的一大優(yōu)點(diǎn)就是能處理傳感器噪聲，換句話說，我們的傳感器或多或少都有點(diǎn)不可靠，并且原始估計(jì)中的每個(gè)狀態(tài)可以和一定范圍內(nèi)的傳感器讀數(shù)對應(yīng)起來。

從測量到的傳感器數(shù)據(jù)中，我們大致能猜到系統(tǒng)當(dāng)前處于什么狀態(tài)。但是由于存在不確定性，某些狀態(tài)可能比我們得到的讀數(shù)更接近真實(shí)狀態(tài)。

我們將這種不確定性(例如：傳感器噪聲)用協(xié)方差表示，該分布的均值就是我們讀取到的傳感器數(shù)據(jù)，稱之為。

現(xiàn)在我們有了兩個(gè)高斯分布，一個(gè)是在預(yù)測值附近，一個(gè)是在傳感器讀數(shù)附近。

我們必須在預(yù)測值(粉紅色)和傳感器測量值(綠色)之間找到最優(yōu)解。

那么，我們最有可能的狀態(tài)是什么呢?對于任何可能的讀數(shù)，有兩種情況：(1)傳感器的測量值;(2)由前一狀態(tài)得到的預(yù)測值。如果我們想知道這兩種情況都可能發(fā)生的概率，將這兩個(gè)高斯分布相乘就可以了。

剩下的就是重疊部分了，這個(gè)重疊部分的均值就是兩個(gè)估計(jì)最可能的值，也就是給定的所有信息中的最優(yōu)估計(jì)。

瞧!這個(gè)重疊的區(qū)域看起來像另一個(gè)高斯分布。

如你所見，把兩個(gè)具有不同均值和方差的高斯分布相乘，你會(huì)得到一個(gè)新的具有獨(dú)立均值和方差的高斯分布!下面用公式講解。

融合高斯分布

先以一維高斯分布來分析比較簡單點(diǎn)，具有方差和 μ 的高斯曲線可以用下式表示：

如果把兩個(gè)服從高斯分布的函數(shù)相乘會(huì)得到什么呢?

將式(9)代入到式(10)中(注意重新歸一化，使總概率為1)可以得到：

將式(11)中的兩個(gè)式子相同的部分用 k 表示：

下面進(jìn)一步將式(12)和(13)寫成矩陣的形式，如果 Σ 表示高斯分布的協(xié)方差，表示每個(gè)維度的均值，則：

矩陣稱為卡爾曼增益，下面將會(huì)用到。放松!我們快要完成了!

將所有公式整合起來

我們有兩個(gè)高斯分布，預(yù)測部分，和測量部分，將它們放到式(15)中算出它們之間的重疊部分：

由式(14)可得卡爾曼增益為：

將式(16)和式(17)的兩邊同時(shí)左乘矩陣的逆(注意里面包含了)將其約掉，再將式(16)的第二個(gè)等式兩邊同時(shí)右乘矩陣的逆得到以下等式：

上式給出了完整的更新步驟方程。就是新的最優(yōu)估計(jì)，我們可以將它和放到下一個(gè)預(yù)測和更新方程中不斷迭代。

總結(jié)

以上所有公式中，你只需要用到式(7)、(18)、(19)。(如果忘了的話，你可以根據(jù)式(4)和(15)重新推導(dǎo)一下) 我們可以用這些公式對任何線性系統(tǒng)建立精確的模型，對于非線性系統(tǒng)來說，我們使用擴(kuò)展卡爾曼濾波，區(qū)別在于EKF多了一個(gè)把預(yù)測和測量部分進(jìn)行線性化的過程。

審核編輯：劉清