如果說高中有什么難度比較大的內容，那不等式絕對算是其中一大類，甚至在考試中往往作為壓軸題出現。

說到均值不等式，還得從我們初中就熟悉的完全平方公式以及任意實數的平方大于等于0開始。

假設x1和x2都是正實數，那么就有


?

利用上述關系，可以進一步得到

把上面所有內容整理一下，就有了我們高中非常熟悉（嗎？）的均值不等式。

當然，上述結果也可以推廣到n個正實數，即

n個正實數構成的均值不等式同樣可以采用完全平方公式來證明（雖然有點麻煩），有興趣的朋友可以試試。

可是，作為一名學習過高等數學課程的博士研究生，能否對均值不等式進行深入探討呢？

這里定義這樣一個函數：


?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

其中R表示所有實數的集合。 細心的朋友可以發現，f(-1)就是調和平均數，f(1)就是算術平均數，f(2)就是平方平均數。

只要研究清楚f(k)的單調性，均值不等式問題也就迎刃而解了。

值得一提的是，幾何平均數并沒有包含在函數f(k)中，暫且不管它。

為了簡化問題，首先只考慮兩個數，即n=2的情況。

?

假設x1=1，x2=2。采用Matlab或Excel軟件作出f(k)隨k（-100≤k≤100且k≠0）的變化曲線。

可以發現：

? ? 將f(k)表達式整理一下，有 ?

也就是說，f(k)的k次方其實就是x1的k次方和x2的k次方之和的平均值，這也是為什么把f(k)叫作平均數的原因。

事實上，f(k)是k的單調遞增函數這一結論對于3個甚至n個數也是成立的。感興趣的朋友可以嘗試一下。

學過高等數學的都知道，想要證明f(k)是k的單調遞增函數，只需證明其導數大于等于0就行。

這里重新寫一下f(k)表達式

兩邊取對數求導后得到

?

可見F(k)的導數與k同號，F(k)在k<0時為減函數，在k>0時為增函數，F(k)在k=0處有極小值。


?

因此f(k)導數大于等于0，f(k)為單調遞增函數。

f(k)最小值和最大值分別在負無窮和正無窮處取得。

利用夾逼原理求極限之后可以發現

也就是

還有，我們應該注意到f(k)的定義域是不包含k=0這個點的，否則指數就會出現1/0這樣的尷尬局面，但是我們可以求k趨于0時f(k)的極限。

這不就是之前無法包含在f(k)定義中的幾何平均數嗎，居然出現在了這里。

因此，可以定義f(k)最終表達式為

f(k)滿足以下性質：

此時，高中學過的均值不等式就可以表示為

?

即 負一次方平均數≤零次方平均數 ≤一次方平均數≤平方平均數 可見其只是f(k)極為特殊的情況而已。

以上內容是小編懷著對數學的一腔熱忱和好奇總結出來的，本以為能發個SCI論文，結果網絡搜索之后發現，前人早就得到了上述結論，還將其稱之為“冪平均不等式”（百度百科就有），小編的SCI夢想就此破滅。





審核編輯：劉清