高斯濾波器的工作原理及實現方法
本文主要介紹了高斯濾波器的原理及其實現過程。 高斯濾波器是一種線性濾波器，能夠有效的抑制噪聲，平滑圖像。其作用原理和均值濾波器類似，都是取濾波器窗口內的像素的均值作為輸出。其窗口模板的系數和均值濾波器不同，均值濾波器的模板系數都是相同的為1;而高斯濾波器的模板系數，則隨著距離模板中心的增大而系數減小。所以，高斯濾波器相比于均值濾波器對圖像個模糊程度較小。 什么是高斯濾波器 既然名稱為高斯濾波器，那么其和高斯分布(正態分布)是有一定的關系的。一個二維的高斯函數如下：
?其中(x,y)(x,y)為點坐標，在圖像處理中可認為是整數;σσ是標準差。要想得到一個高斯濾波器的模板，可以對高斯函數進行離散化，得到的高斯函數值作為模板的系數。例如：要產生一個3×33×3的高斯濾波器模板，以模板的中心位置為坐標原點進行取樣。模板在各個位置的坐標，如下所示(x軸水平向右，y軸豎直向下)
?這樣，將各個位置的坐標帶入到高斯函數中，得到的值就是模板的系數。
對于窗口模板的大小為(2k+1)×(2k+1)，模板中各個元素值的計算公式如下：
?這樣計算出來的模板有兩種形式：小數和整數。
-
小數形式的模板，就是直接計算得到的值，沒有經過任何的處理;
-
整數形式的，則需要進行歸一化處理，將模板左上角的值歸一化為1，下面會具體介紹。使用整數的模板時，需要在模板的前面加一個系數，系數為
也就是模板系數和的倒數。
void generateGaussianTemplate(double window[][11], int ksize, double sigma){ static const double pi = 3.1415926; int center = ksize / 2; // 模板的中心位置，也就是坐標的原點 double x2, y2; for (int i = 0; i < ksize; i++) { x2 = pow(i - center, 2); for (int j = 0; j < ksize; j++) { y2 = pow(j - center, 2); double g = exp(-(x2 + y2) / (2 * sigma * sigma)); g /= 2 * pi * sigma; window[i][j] = g; } } double k = 1 / window[0][0]; // 將左上角的系數歸一化為1 for (int i = 0; i < ksize; i++) { for (int j = 0; j < ksize; j++) { window[i][j] *= k; } }}
需要一個二維數組，存放生成的系數(這里假設模板的最大尺寸不會超過11);第二個參數是模板的大小(不要超過11);第三個參數就比較重要了，是高斯分布的標準差。生成的過程，首先根據模板的大小，找到模板的中心位置ksize/2。然后就是遍歷，根據高斯分布的函數，計算模板中每個系數的值。
需要注意的是，最后歸一化的過程，使用模板左上角的系數的倒數作為歸一化的系數(左上角的系數值被歸一化為1)，模板中的每個系數都乘以該值(左上角系數的倒數)，然后將得到的值取整，就得到了整數型的高斯濾波器模板。
下面截圖生成的是，大小為3×3,σ=0.83×3,σ=0.8的模板
?對上述解結果取整后得到如下模板：
?這個模板就比較熟悉了，其就是根據σ=0.8的高斯函數生成的模板。
至于小數形式的生成也比較簡單，去掉歸一化的過程，并且在求解過程后，模板的每個系數要除以所有系數的和。具體代碼如下：void generateGaussianTemplate(double window[][11], int ksize, double sigma){ static const double pi = 3.1415926; int center = ksize / 2; // 模板的中心位置，也就是坐標的原點 double x2, y2; double sum = 0; for (int i = 0; i < ksize; i++) { x2 = pow(i - center, 2); for (int j = 0; j < ksize; j++) { y2 = pow(j - center, 2); double g = exp(-(x2 + y2) / (2 * sigma * sigma)); g /= 2 * pi * sigma; sum += g; window[i][j] = g; } } //double k = 1 / window[0][0]; // 將左上角的系數歸一化為1 for (int i = 0; i < ksize; i++) { for (int j = 0; j < ksize; j++) { window[i][j] /= sum; } }}
3×3,σ=0.8的小數型模板。
σσ值的意義及選取
通過上述的實現過程，不難發現，高斯濾波器模板的生成最重要的參數就是高斯分布的標準差σσ。標準差代表著數據的離散程度，如果σσ較小，那么生成的模板的中心系數較大，而周圍的系數較小，這樣對圖像的平滑效果就不是很明顯;反之，σσ較大，則生成的模板的各個系數相差就不是很大，比較類似均值模板，對圖像的平滑效果比較明顯。
來看下一維高斯分布的概率分布密度圖：
?橫軸表示可能得取值x，豎軸表示概率分布密度F(x)，那么不難理解這樣一個曲線與x軸圍成的圖形面積為1。σσ(標準差)決定了這個圖形的寬度，可以得出這樣的結論：σσ越大，則圖形越寬，尖峰越小，圖形較為平緩;σσ越小，則圖形越窄，越集中，中間部分也就越尖，圖形變化比較劇烈。這其實很好理解，如果sigma也就是標準差越大，則表示該密度分布一定比較分散，由于面積為1，于是尖峰部分減小，寬度越寬(分布越分散);同理，當σσ越小時，說明密度分布較為集中，于是尖峰越尖，寬度越窄!
于是可以得到如下結論：
σσ越大，分布越分散，各部分比重差別不大，于是生成的模板各元素值差別不大，類似于平均模板；
σσ越小，分布越集中，中間部分所占比重遠遠高于其他部分，反映到高斯模板上就是中心元素值遠遠大于其他元素值，于是自然而然就相當于中間值得點運算。
基于OpenCV的實現
在生成高斯模板好，其簡單的實現和其他的空間濾波器沒有區別，具體代碼如下：void GaussianFilter(const Mat &src, Mat &dst, int ksize, double sigma){ CV_Assert(src.channels() || src.channels() == 3); // 只處理單通道或者三通道圖像 const static double pi = 3.1415926; // 根據窗口大小和sigma生成高斯濾波器模板 // 申請一個二維數組，存放生成的高斯模板矩陣 double **templateMatrix = new double*[ksize]; for (int i = 0; i < ksize; i++) templateMatrix[i] = new double[ksize]; int origin = ksize / 2; // 以模板的中心為原點 double x2, y2; double sum = 0; for (int i = 0; i < ksize; i++) { x2 = pow(i - origin, 2); for (int j = 0; j < ksize; j++) { y2 = pow(j - origin, 2); // 高斯函數前的常數可以不用計算，會在歸一化的過程中給消去 double g = exp(-(x2 + y2) / (2 * sigma * sigma)); sum += g; templateMatrix[i][j] = g; } } for (int i = 0; i < ksize; i++) { for (int j = 0; j < ksize; j++) { templateMatrix[i][j] /= sum; cout << templateMatrix[i][j] << " "; } cout << endl; } // 將模板應用到圖像中 int border = ksize / 2; copyMakeBorder(src, dst, border, border, border, border, BorderTypes::BORDER_REFLECT); int channels = dst.channels(); int rows = dst.rows - border; int cols = dst.cols - border; for (int i = border; i < rows; i++) { for (int j = border; j < cols; j++) { double sum[3] = { 0 }; for (int a = -border; a <= border; a++) { for (int b = -border; b <= border; b++) { if (channels == 1) { sum[0] += templateMatrix[border + a][border + b] * dst.at(i + a, j + b); } else if (channels == 3) { Vec3b rgb = dst.at(i + a, j + b); auto k = templateMatrix[border + a][border + b]; sum[0] += k * rgb[0]; sum[1] += k * rgb[1]; sum[2] += k * rgb[2]; } } } for (int k = 0; k < channels; k++) { if (sum[k] < 0) sum[k] = 0; else if (sum[k] > 255) sum[k] = 255; } if (channels == 1) dst.at(i, j) = static_cast(sum[0]); else if (channels == 3) { Vec3b rgb = { static_cast(sum[0]), static_cast(sum[1]), static_cast(sum[2]) }; dst.at(i, j) = rgb; } } } // 釋放模板數組 for (int i = 0; i < ksize; i++) delete[] templateMatrix[i]; delete[] templateMatrix;}
只處理單通道或者三通道圖像，模板生成后，其濾波(卷積過程)就比較簡單了。不過，這樣的高斯濾波過程，其循環運算次數為m×n×ksize2，其中m，n為圖像的尺寸;ksize為高斯濾波器的尺寸。這樣其時間復雜度為O(ksize2)，隨濾波器的模板的尺寸呈平方增長，當高斯濾波器的尺寸較大時，其運算效率是極低的。為了，提高濾波的運算速度，可以將二維的高斯濾波過程分解開來。
分離實現高斯濾波
由于高斯函數的可分離性，尺寸較大的高斯濾波器可以分成兩步進行：首先將圖像在水平(豎直)方向與一維高斯函數進行卷積;然后將卷積后的結果在豎直(水平)方向使用相同的一維高斯函數得到的模板進行卷積運算。具體實現代碼如下：// 分離的計算void separateGaussianFilter(const Mat &src, Mat &dst, int ksize, double sigma){ CV_Assert(src.channels()==1 || src.channels() == 3); // 只處理單通道或者三通道圖像 // 生成一維的高斯濾波模板 double *matrix = new double[ksize]; double sum = 0; int origin = ksize / 2; for (int i = 0; i < ksize; i++) { // 高斯函數前的常數可以不用計算，會在歸一化的過程中給消去 double g = exp(-(i - origin) * (i - origin) / (2 * sigma * sigma)); sum += g; matrix[i] = g; } // 歸一化 for (int i = 0; i < ksize; i++) matrix[i] /= sum; // 將模板應用到圖像中 int border = ksize / 2; copyMakeBorder(src, dst, border, border, border, border, BorderTypes::BORDER_REFLECT); int channels = dst.channels(); int rows = dst.rows - border; int cols = dst.cols - border; // 水平方向 for (int i = border; i < rows; i++) { for (int j = border; j < cols; j++) { double sum[3] = { 0 }; for (int k = -border; k <= border; k++) { if (channels == 1) { sum[0] += matrix[border + k] * dst.at(i, j + k); // 行不變，列變化；先做水平方向的卷積 } else if (channels == 3) { Vec3b rgb = dst.at(i, j + k); sum[0] += matrix[border + k] * rgb[0]; sum[1] += matrix[border + k] * rgb[1]; sum[2] += matrix[border + k] * rgb[2]; } } for (int k = 0; k < channels; k++) { if (sum[k] < 0) sum[k] = 0; else if (sum[k] > 255) sum[k] = 255; } if (channels == 1) dst.at(i, j) = static_cast(sum[0]); else if (channels == 3) { Vec3b rgb = { static_cast(sum[0]), static_cast(sum[1]), static_cast(sum[2]) }; dst.at(i, j) = rgb; } } } // 豎直方向 for (int i = border; i < rows; i++) { for (int j = border; j < cols; j++) { double sum[3] = { 0 }; for (int k = -border; k <= border; k++) { if (channels == 1) { sum[0] += matrix[border + k] * dst.at(i + k, j); // 列不變，行變化；豎直方向的卷積 } else if (channels == 3) { Vec3b rgb = dst.at(i + k, j); sum[0] += matrix[border + k] * rgb[0]; sum[1] += matrix[border + k] * rgb[1]; sum[2] += matrix[border + k] * rgb[2]; } } for (int k = 0; k < channels; k++) { if (sum[k] < 0) sum[k] = 0; else if (sum[k] > 255) sum[k] = 255; } if (channels == 1) dst.at(i, j) = static_cast(sum[0]); else if (channels == 3) { Vec3b rgb = { static_cast(sum[0]), static_cast(sum[1]), static_cast(sum[2]) }; dst.at(i, j) = rgb; } } } delete[] matrix;}
代碼沒有重構較長，不過其實現原理是比較簡單的。首先得到一維高斯函數的模板，在卷積(濾波)的過程中，保持行不變，列變化，在水平方向上做卷積運算;接著在上述得到的結果上，保持列不邊，行變化，在豎直方向上做卷積運算。這樣分解開來，算法的時間復雜度為O(ksize)O(ksize)，運算量和濾波器的模板尺寸呈線性增長。
在OpenCV也有對高斯濾波器的封裝GaussianBlur，其聲明如下：CV_EXPORTS_W void GaussianBlur( InputArray src, OutputArray dst, Size ksize, double sigmaX, double sigmaY = 0, int borderType = BORDER_DEFAULT );
二維高斯函數的標準差在x和y方向上應該分別有一個標準差，在上面的代碼中一直設其在x和y方向的標準是相等的，在OpenCV中的高斯濾波器中，可以在x和y方向上設置不同的標準差。
下圖是自己實現的高斯濾波器和OpenCV中的GaussianBlur的結果對比
?上圖是5×5,σ=0.8的高斯濾波器，可以看出兩個實現得到的結果沒有很大的區別。
總結
高斯濾波器是一種線性平滑濾波器，其濾波器的模板是對二維高斯函數離散得到。由于高斯模板的中心值最大，四周逐漸減小，其濾波后的結果相對于均值濾波器來說更好。
高斯濾波器最重要的參數就是高斯分布的標準差σσ，標準差和高斯濾波器的平滑能力有很大的能力，σσ越大，高斯濾波器的頻帶就較寬，對圖像的平滑程度就越好。通過調節σσ參數，可以平衡對圖像的噪聲的抑制和對圖像的模糊。
原文標題：高斯濾波器的原理及其實現過程（附模板代碼）
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