摘要

Σ-Δ模數(shù)轉(zhuǎn)換器是從脈寬調(diào)制器類積分型ADC演變而來的，其模擬部分相對(duì)容易實(shí)現(xiàn)、數(shù)字部分則比較靈活。隨著技術(shù)的發(fā)展，Σ-ΔADC基本原理已結(jié)合不同量化器形成了有意義的變種。本應(yīng)用札記回顧了與Σ-ΔADC相關(guān)的重要概念與拓展：過采樣、（量化）噪聲整形、（量化）噪聲調(diào)制、數(shù)值化、濾波抽取，以及殘量累積和局部精細(xì)量化（Zoom）等變種。

目錄

1 Σ-Δ ADC概述... 2

2 過采樣量化噪聲整形和量化噪聲調(diào)制... 4

2.1 量化噪聲與ADC的分辨率... 4

2.2 過采樣量化噪聲整形與ADC的分辨率... 5

2.3 量化噪聲調(diào)制... 6

2.4 改善量化噪聲抑制收斂速度以及階數(shù)的概念... 8

3 抽取和濾波... 9

4 改進(jìn)和變種... 10

4.1 局部放大（Zoom）Σ-Δ型ADC. 10

4.2 殘量繼承電容DAC SAR預(yù)量化Σ-Δ型ADC[4][5][6] 11

參考資料... 11

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以1作為量化門限時(shí)，0.7被量化為0；無論多少次采樣0.7保持被量化為0。只有1這一個(gè)量化臺(tái)階的Σ-Δ型ADC經(jīng)過反復(fù)量化可以得到0.7；Σ-Δ量化的基本原理是從多次量化中抽取其統(tǒng)計(jì)分布中心，結(jié)合其它量化方案可以加快誤差收斂速度和提高量化分辨率。關(guān)于Σ-Δ型ADC的文獻(xiàn)最早出現(xiàn)于1962年[1]，早期的原理討論淹沒在了深化研究之下。本札記試圖鉤沉這些早期原理討論，為理解Σ-Δ型ADC做入門鋪墊。

1 Σ-Δ ADC概述

圖 1是介紹Σ-Δ型ADC工作原理時(shí)常見的頂層框圖，圖中將Σ-Δ型ADC表達(dá)為Σ-Δ調(diào)制器和數(shù)值抽取濾波器兩個(gè)環(huán)節(jié)。該圖表達(dá)了Σ-Δ型ADC的兩個(gè)關(guān)鍵特征，其一是有一個(gè)調(diào)制過程在一個(gè)時(shí)間段內(nèi)使調(diào)制量與模擬輸入相互作用，其二是以k×fs的過采樣速率獲取速率為fs量化輸出。采樣孔徑[1]指量化輸出反映的模擬輸入片段的整體效果。就Σ-Δ型ADC而言，對(duì)調(diào)制狀態(tài)流采樣需要持續(xù)時(shí)間、濾波器需要狀態(tài)建立時(shí)間，表現(xiàn)為采樣孔徑大、輸出延遲大。采樣孔徑的大小和輸出延遲表現(xiàn)為量化過程的幅頻特性和瞬態(tài)響應(yīng)特性。

圖 1 Σ-Δ型ADC頂層框圖

圖 1是概念性框圖，圖 2則是具體以脈寬調(diào)制器為Σ-Δ調(diào)制器的Σ-Δ型ADC的功能框圖，方便更具體地說明其各個(gè)局部的功能。該電路中調(diào)制器的狀態(tài)流為脈寬調(diào)制器的占空比信號(hào)，調(diào)制量流是受占空比信號(hào)控制的、相對(duì)于中間值電壓VCOM的±VREF偏移電壓。VX的范圍限制在VCOM±VREF范圍內(nèi)。

圖 2 具體基于脈寬調(diào)制器的Σ-Δ型ADC的功能框圖

當(dāng)調(diào)制量流為VCOM-VREF時(shí)，減法器輸出為正，積分器輸出逐漸增大。直到積分器的輸出超過上閾值VCOM+VTH，雙門限比較器輸出翻轉(zhuǎn)、將調(diào)制量流輸出切換為VCOM+VREF。由于VX幅度在VCOM±VREF范圍內(nèi)，上述切換后積分器輸出逐漸變低。積分器輸出變低最后會(huì)超出下閾值VCOM-VTH，雙門限比較器輸出翻轉(zhuǎn)、將調(diào)制量流輸出切換為VCOM-VREF方波幅度流。當(dāng)VX=VCOM時(shí)，調(diào)制器狀態(tài)流輸出占空比D=1:1；當(dāng)VX與VCOM不同時(shí)，占空比D反映VX偏離VCOM的程度，即D=0.5 + (VX-VCOM)/(2×VREF)。或者，在中心值為0時(shí)，VX=2×(D-0.5)×VREF，即VX決定了占空比偏離1:1的程度。調(diào)制器的狀態(tài)流是對(duì)積分器輸出的量化結(jié)果，該結(jié)果影響調(diào)制量流，但不是對(duì)VX的量化。VX通過調(diào)制器反映為調(diào)制器狀態(tài)流的占空比，這個(gè)占空比由圖中加減計(jì)數(shù)器讀取，計(jì)數(shù)器的值為VX的量化值。在一個(gè)周期內(nèi)占空比計(jì)數(shù)器的量化誤差反映為調(diào)制器狀態(tài)翻轉(zhuǎn)時(shí)間與計(jì)時(shí)時(shí)鐘clk對(duì)齊的偏差，即可能存在一個(gè)時(shí)鐘周期的偏差。重復(fù)多個(gè)周期，總計(jì)數(shù)時(shí)間不斷增大，這一個(gè)周期的量化誤差占比不斷減小。這種通過多個(gè)周期不斷累積獲得精確占空比的過程即抽取[2]過程。由于VX是變化的，過長(zhǎng)的累積過程會(huì)掩蓋掉VX的變化，上述累積需要利用具備一定時(shí)間常數(shù)的數(shù)值濾波器實(shí)現(xiàn)，即抽取和濾波是同時(shí)由濾波單元實(shí)現(xiàn)的。

上述原理介紹中沒有提及圖 2中Sync信號(hào)的功能，該功能與Σ-Δ型ADC設(shè)計(jì)方案的演化相關(guān)。圖 2電路是典型的早期雛形積分型ADC；如果Δ代表差值、Σ代表積分，則此雛形電路應(yīng)為Δ-Σ型ADC（部分文獻(xiàn)[1]仍采用Δ-Σ的命名）。Sync信號(hào)的引入取代了早期Σ-Δ型ADC方案中的加擾電路（dither），利用它在積分環(huán)節(jié)引入了一個(gè)殘差，亦可用Δ表達(dá)。引入Sync信號(hào)后，該類型的ADC則名副其實(shí)地稱為Σ-Δ型ADC了。上述殘差與加擾電路的功能一致，用來保證量化誤差能在一定范圍的量化臺(tái)階內(nèi)均勻分布。這個(gè)保證量化誤差均勻分布的功能即（量化）誤差調(diào)制，將在下文2.3中進(jìn)行詳細(xì)討論。

Σ-Δ型ADC本質(zhì)上或者底層原理是利用多次采樣取平均將量化誤差對(duì)消。無論是圖 1還是圖 2，用來分析量化噪聲的調(diào)制如何改善信噪比都太過具象，通常利用圖 3所示的一般模型做理論分析。該模型中，帶有量化噪聲的量化結(jié)果被送回到輸入與輸入模擬量相減合并到下次量化中；如果每次量化作為一個(gè)迭代周期，則每次迭代量化誤差的極性是翻轉(zhuǎn)的。如果量化誤差是完全隨機(jī)的，即出現(xiàn)正隨機(jī)誤差和負(fù)隨機(jī)誤差的幾率一致，則經(jīng)過充分迭代后，量化誤差反復(fù)加減后會(huì)趨于零。圖 3中輸入到ADC的是VH，但ADC的輸出并不是VH，而是根據(jù)一段時(shí)間內(nèi)VH的變化得到的VX量化值DX；對(duì)VX的量化過程是從對(duì)VH量化提取得到的。直觀的解釋是重復(fù)對(duì)VX做多次采樣取其平均值，有正有負(fù)的量化誤差被平均過程減小了。

圖 3 分析Σ-Δ型ADC中量化噪聲改善影響的一般結(jié)構(gòu)框圖

Σ-Δ型ADC的三個(gè)關(guān)鍵特征分別是，過采樣過程將量化噪聲推到高頻、在大量數(shù)據(jù)中抽取出量化值及濾波、以及保證量化噪聲的平穩(wěn)和均勻分布。

2 過采樣量化噪聲整形和量化噪聲調(diào)制

借助于奈奎斯特采樣的分析方法從信息提取角度可以導(dǎo)出過采樣過程如何提高量化精度的一般性解釋。首先，仍需要假設(shè)量化噪聲是平穩(wěn)和均布的，以及過采樣數(shù)據(jù)處理過程不引起信息損失，即僅考慮過采樣時(shí)的量化誤差。以下將解釋如何從信息提取的角度評(píng)估量化噪聲與ADC位長(zhǎng)的關(guān)系以及將量化噪聲調(diào)制在量化臺(tái)階內(nèi)的實(shí)施例。

2.1 量化噪聲與ADC的分辨率

圖 4 理解量化臺(tái)階和量化噪聲的示意圖

參考圖 4左圖，不局限于Σ-Δ型ADC，量化臺(tái)階指對(duì)應(yīng)相鄰兩個(gè)量化值的模擬量范圍，在這個(gè)范圍內(nèi)模擬輸入都被量化為同一個(gè)數(shù)值，即圖中的d。記d臨界變化的模擬量是Q，相鄰數(shù)值d+1臨界變化對(duì)應(yīng)模擬量為Q+q，則數(shù)值增量1對(duì)應(yīng)的模擬量增量q即量化臺(tái)階。對(duì)于線性量化過程，這個(gè)臺(tái)階即最小量化權(quán)值位LSB（less-significant bit）對(duì)應(yīng)的模擬量范圍。這種將模擬量量化為數(shù)值時(shí)，因數(shù)值表達(dá)的不連續(xù)性導(dǎo)致的誤差即量化誤差。將量化誤差看作噪聲影響時(shí)其效果相當(dāng)于在模擬量上疊加了幅度在-q~0范圍內(nèi)的噪聲。考慮這個(gè)噪聲是均勻分布的，則平均值為-q/2，即圖 4左圖所表達(dá)的量化誤差從統(tǒng)計(jì)結(jié)果看同時(shí)引起統(tǒng)計(jì)零點(diǎn)出現(xiàn)-q/2的漂移。這個(gè)漂移可在數(shù)字域或模擬域移除，從而可以將量化噪聲反映為如圖 4右圖所示的-q/2~+q/2的噪聲，即量化結(jié)果d對(duì)應(yīng)較Q低的實(shí)際輸入量疊加了同相噪聲或較Q高的實(shí)際輸入疊加了反相噪聲。此時(shí)在-q/2~q/2范圍均布的噪聲的均值為0（在-q/2~0范圍內(nèi)均值為-q/4，在0~q/2范圍內(nèi)均值為q/4），方差密度或噪聲密度為σ= ，式中A為幅度，σ為能量或方差。有限次量化時(shí)，n次量化噪聲平均幅度在正和負(fù)兩個(gè)部分分別為正和負(fù)(q/4)/(n1/2)[3]。相對(duì)于單次量化時(shí)在兩側(cè)的均值q/4，隨著量化次數(shù)的增加，均值以1/n1/2速度縮小。由于噪聲能量總是正值，量化次數(shù)不改變平均到每次的噪聲能量，而只是改變其短期統(tǒng)計(jì)偏差與長(zhǎng)期統(tǒng)計(jì)偏差的偏離程度。

長(zhǎng)期且平穩(wěn)時(shí)，信號(hào)能量密度與噪聲能量密度為1:1的相對(duì)關(guān)系用來表述一個(gè)信息表達(dá)系統(tǒng)的極限能力；量化系統(tǒng)極限有效動(dòng)態(tài)范圍以信號(hào)/量化噪聲比SINAD表達(dá)為10×lg(Ps/Pn)（dB），其中Ps為信號(hào)能量密度，Pn為噪聲能量密度。對(duì)于N位ADC，其不失真地采樣一個(gè)正弦信號(hào)的幅度為2N×q/2，其能量為22×N×q2/8，前述極限有效動(dòng)態(tài)范圍為10×lg[(22×N×q2/8)/(q2/12)]，即SINAD=1.76+6.02×N。由此可看出，位長(zhǎng)N與信噪比的正比關(guān)系。從另一個(gè)角度看SINAD的表達(dá)，如果一個(gè)量化系統(tǒng)在原始采集到的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上的后續(xù)處理過程中數(shù)字表達(dá)不受位長(zhǎng)限制，降低Pn可獲得更高的SINAD。即，如果平均過程可以降低量化噪聲平均幅度，則可借助平均過程獲得更高的SINAD。

2.2 過采樣量化噪聲整形與ADC的分辨率

2.1中已說明重復(fù)n次采樣和量化時(shí)平穩(wěn)和均布的量化噪聲以1/n1/2的比例減小，以及如果處理過程不受位長(zhǎng)影響，量化噪聲的減小相當(dāng)于有效位長(zhǎng)增加。將其中SINAD的公式改寫為N=(SINAD-1.76)/6.02=[10lg(Ps/Pn)-1.76]/6.02，帶入n增加時(shí)量化噪聲幅度減小1/n1/2的比例關(guān)系后，得到n每增加一倍，等效位數(shù)增加0.5位的關(guān)系[4]。需要注意，此處的量化噪聲能量并不是多次量化的平均量化噪聲能量，而是從平均量化噪聲幅度折算得到的等效值。多次采樣取平均只是多種數(shù)據(jù)處理方式之一，從量化噪聲能量變化的角度可導(dǎo)出過采樣改善ADC分辨率的一般性關(guān)系。

當(dāng)以fs為采樣速率對(duì)模擬信號(hào)采樣時(shí)，如圖 5所示，帶寬為fa的模擬信號(hào)及其鏡像部分經(jīng)采樣后被搬移到以fs頻率的兩側(cè)。奈奎斯特采樣定律指出最低限度地識(shí)別信號(hào)頻譜的極限情況出現(xiàn)在fs=2×fa時(shí)；當(dāng)fs＜2×fa時(shí)，fa頻譜中高于fs/2的部分出現(xiàn)交錯(cuò)，致使該部分的功率高于實(shí)際信號(hào)功率，從而導(dǎo)致誤判。在臨界情況下，即fs=2×fa時(shí)，采樣過程將量化噪聲調(diào)制到了帶寬為fs的采樣頻譜中，這時(shí)量化噪聲的影響最大。

圖 5 采樣對(duì)模擬信號(hào)頻譜的搬移

量化噪聲可能出現(xiàn)的最高頻率即采樣頻率fs，作為白噪聲時(shí)在0頻率到fs間均布。當(dāng)信號(hào)帶寬小于fs時(shí)，則只有fa/fs比例的量化噪聲被調(diào)制入采樣頻譜。記fa/fs=1/n，則量化噪聲可以調(diào)制到采樣頻譜中的部分為1/n。將這個(gè)關(guān)系帶入公式N=[10lg(Ps/Pn)-1.76]/6.02中，即得到只有部分量化噪聲進(jìn)入采樣頻譜時(shí)ADC分辨率改善的一般關(guān)系[5]。

圖 6 增加了頻譜示意的抽象結(jié)構(gòu)框圖

圖 6在圖 3所示的抽象結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上增加了信號(hào)帶寬和傳遞函數(shù)帶寬的示意，明確了以積分器作為簡(jiǎn)潔的模擬低通濾波器限制量化噪聲頻譜的一般性特征，沒有明確ADC的形式和DAC的形式及其反饋延時(shí)關(guān)系。分析上圖，傳遞方程為DX = (VX-DX)×H(s) + qN，在低頻范圍不考慮相移影響，上述方程可簡(jiǎn)化為DX = (VX-DX)/f + qN，可推導(dǎo)出DX = VX/(f + 1) + qN×f/(f + 1)，該導(dǎo)出式顯現(xiàn)對(duì)于極點(diǎn)為零的積分器型濾波器，當(dāng)f接近零時(shí)，量化噪聲的影響也接近零。由此可見，對(duì)量化噪聲的抑制是由濾波器H(s)、對(duì)VH量化和從中提取對(duì)窄帶的VX量化結(jié)果的（濾波）過程中實(shí)現(xiàn)的。

以上即量化噪聲整形的一般性概念，利用過采樣使量化噪聲分布在很大帶寬內(nèi)，然后只保留有限帶寬內(nèi)的量化噪聲，從而取得比過量化量化器高的有效位長(zhǎng)。過采樣和量化噪聲整形的概念并不局限于低通方式，也包括對(duì)高頻窄帶信號(hào)（相對(duì)于帶通帶寬的）過采樣和利用帶通濾波實(shí)現(xiàn)噪聲整形的情形。

2.3 量化噪聲調(diào)制

量化噪聲調(diào)制是使量化噪聲呈現(xiàn)白噪聲或者接近白噪聲的過程。量化器本身不能保證多次量化過程中量化噪聲是均勻分布的。例如當(dāng)模擬量在一個(gè)量化臺(tái)階內(nèi)保持穩(wěn)定時(shí)，無論是多少次采樣所采集的數(shù)據(jù)是個(gè)確定值，則無論如何抽取和濾波，都不會(huì)改變量化噪聲的幅度，從而無法提高有效位長(zhǎng)。圖 3中利用DAC將量化結(jié)果反饋到前端與輸入信號(hào)相減的過程在每次迭代時(shí)翻轉(zhuǎn)量化誤差極性可以加快量化誤差的收斂速度，但仍不能使處于一個(gè)量化臺(tái)階中的穩(wěn)定輸入引起不同輸出，因此也無法使量化誤差均布。

Σ-Δ型ADC的早期設(shè)計(jì)中曾使用主動(dòng)加入擾動(dòng)的方式使多次量化的結(jié)果在若干位間以輸入模擬量為中心對(duì)稱分布。利用加入擾動(dòng)的產(chǎn)品實(shí)例可見MAX110/111[2]（ADI公司產(chǎn)品），其利用一個(gè)擾動(dòng)產(chǎn)生單元（dither generator）產(chǎn)生一個(gè)對(duì)稱分布的準(zhǔn)白噪聲使對(duì)穩(wěn)定輸入信號(hào)的量化結(jié)果出現(xiàn)在不同編碼上；量化結(jié)果的統(tǒng)計(jì)分布中心即加擾后的模擬信號(hào)的中心，而該統(tǒng)計(jì)中心位置精度由統(tǒng)計(jì)樣本規(guī)模決定、不受量化器精度限制。后期設(shè)計(jì)中很少使用加擾，但加擾方案中由多個(gè)量化臺(tái)階上的樣本數(shù)決定統(tǒng)計(jì)分布中心的精髓得以延續(xù)；利用取多個(gè)臺(tái)階的平均值改善臺(tái)階幅度偏差。

圖 7 利用加擾使多次量化結(jié)果以輸入量為中心分布的示意

圖 2中的Sync信號(hào)利用比較器翻轉(zhuǎn)時(shí)間與一個(gè)穩(wěn)定的計(jì)數(shù)時(shí)鐘的偏差來產(chǎn)生一個(gè)殘量（即文獻(xiàn)[3]第16、17頁提到的線性時(shí)間變量）。這個(gè)殘量的幅度在一個(gè)Sync時(shí)鐘間隔內(nèi)均勻分布，完全符合Σ-Δ型ADC的需要。帶有同步信號(hào)的比較器，即鎖存比較器，在Sync信號(hào)前沿瞬時(shí)將輸入接入一個(gè)雙穩(wěn)態(tài)觸發(fā)器；無論輸入幅度差是多少，這個(gè)雙穩(wěn)態(tài)觸發(fā)器一定會(huì)產(chǎn)生唯一的邏輯狀態(tài)，是一種高增益比較器。鎖存比較器只在Sync信號(hào)前沿瞬時(shí)檢查獲取輸入幅度信息。如果過閾值的臨界狀態(tài)出現(xiàn)在兩個(gè)Sync信號(hào)前沿之間，臨界時(shí)間與比較器輸出之間出現(xiàn)延時(shí)；在這段延時(shí)期間積分器保持原來的狀態(tài)，輸出在過閾值后繼續(xù)變化。

圖 8 翻轉(zhuǎn)時(shí)間被時(shí)鐘調(diào)制產(chǎn)生殘量的示意

圖 8說明了上述延時(shí)如何產(chǎn)生在一個(gè)量化臺(tái)階內(nèi)隨機(jī)均布的殘量，以及這個(gè)殘量帶入下一個(gè)積分過程的情形。如圖所示，以過上翻轉(zhuǎn)閾值為例，實(shí)際過閾值時(shí)間發(fā)生在tx時(shí)刻，但直到td時(shí)刻鎖存比較器才檢查積分器輸出。從過閾值到鎖存比較器輸出翻轉(zhuǎn)、改變積分器的變化方向，積分器輸出仍沿著之前的方向變化并產(chǎn)生了一個(gè)與td-tx時(shí)間有關(guān)的殘量r。這個(gè)殘量r使得積分器在下一個(gè)方向上的變化的起點(diǎn)偏離了量化臺(tái)階的端點(diǎn)，是對(duì)其計(jì)時(shí)過程的擾動(dòng)。考慮tx與時(shí)鐘無關(guān)，同時(shí)在td-1~td的時(shí)間范圍內(nèi)積分器輸出的變化不大，則殘量r在一個(gè)量化臺(tái)階內(nèi)均布。對(duì)于經(jīng)常采用的一位量化器而言，殘量r是積分器輸出超出上下翻轉(zhuǎn)閾值的部分。對(duì)于圖 2所示脈寬計(jì)數(shù)結(jié)構(gòu)的電路來講，殘量r則是均勻分布在d-1和d之間的隨機(jī)擾動(dòng)。除擾動(dòng)加入方式不同外，圖 2電路與產(chǎn)品實(shí)例MAX110/111一樣，單次量化器是多位精度的脈寬計(jì)時(shí)器；這個(gè)單次量化器的分辨率或位數(shù)對(duì)應(yīng)積分器一個(gè)完整充放周期的計(jì)時(shí)。

Σ-Δ型ADC的關(guān)鍵特征是在單次采樣量化后的數(shù)據(jù)處理，這是一種廣義的積分過程，即需要某種方式讓多次量化的結(jié)果關(guān)聯(lián)起來；這種情況下單次量化被稱為預(yù)量化，后續(xù)的處理仍被稱作抽取和濾波過程。其中單次量化器則不局限于積分變換器，例如可以采用基于電荷平衡的逐次逼近型的SAR ADC。電荷平衡SAR ADC可借助其權(quán)電容將上次變換所剩余的殘量帶入下次變換采樣中，實(shí)現(xiàn)量化噪聲調(diào)制[4]。

量化噪聲調(diào)制過程同時(shí)作用到其它類型由量化器引入的低頻噪聲。部分殘量由量化器的低頻噪聲引起，這部分沒有計(jì)算到積分時(shí)間內(nèi)的殘量在下一個(gè)方向的積分過程中以反向的形式導(dǎo)致積分的起點(diǎn)向延長(zhǎng)積分時(shí)間的方向移動(dòng)。在接續(xù)的兩個(gè)積分過程中，量化器引入的噪聲分別表現(xiàn)為正和負(fù)的影響，相當(dāng)于利用以積分時(shí)間為周期的±1極性對(duì)稱方波進(jìn)行了調(diào)制。考慮其作用的一致性，進(jìn)一步的討論中不必區(qū)分量化噪聲和其它類型由量化器引入的噪聲。

2.4 改善量化噪聲抑制收斂速度以及階數(shù)的概念

利用快速預(yù)量化可直觀和直接地改善收斂速度，大多改進(jìn)出現(xiàn)在積分調(diào)制器和抽取濾波部分（自從1962年這個(gè)分類被提出后，大量研究和產(chǎn)品實(shí)踐都是圍繞調(diào)制器和抽取濾波展開的[1]）。本小節(jié)試圖提供有助于理解這些創(chuàng)造的一般概念，而不是嘗試概述。

將圖 3表達(dá)為以固定節(jié)拍迭代的離散過程，見圖 9。類似地，圖 9只是表達(dá)數(shù)據(jù)提取部分是對(duì)之前輸入的量化、僅將量化誤差反向后送回積分的概念，而忽略了其具體實(shí)現(xiàn)的復(fù)雜性。這個(gè)過程的z域表達(dá)為D(z) =z-1×X(z) + (1 – z-1)×Q(z)；其中從X(z)到D(z)以1:1增益?zhèn)鬟f，Q(z)為量化誤差序列，z-1代表一個(gè)延遲節(jié)拍，(1 – z-1)為積分器（與1/s或f/(f + 1)對(duì)應(yīng)的）在零頻率上的陷波函數(shù)。其收斂速度慢表現(xiàn)在由f/(f+1)反映的關(guān)系上，只有當(dāng)fs>> fa時(shí)才能對(duì)量化誤差的有效抑制。

圖 9 以離散過程表達(dá)的Σ-Δ型ADC的結(jié)構(gòu)

直觀的改善辦法是嘗試堆疊調(diào)制器積分節(jié)，使傳遞函數(shù)與積分器相關(guān)的部分連續(xù)延遲-相乘的關(guān)系表達(dá)為D(z) =z-1×X(z) + (1 – z-1)L×Q(z)；其中L為級(jí)聯(lián)次數(shù)。以三階級(jí)聯(lián)為例，相應(yīng)的傳遞模型如圖 10所示；其中系數(shù)a1~a3表示在累積延時(shí)-積分時(shí)的傳遞增益需要控制。這個(gè)級(jí)聯(lián)次數(shù)L即所謂Σ-Δ調(diào)制器的階數(shù)。(1 – z-1)L被稱為量化噪聲整形函數(shù)，圖 11是其在0~0.5fs頻率范圍的模值。

圖 10 對(duì)量化誤差做三階級(jí)聯(lián)積分的模型

圖 11 整形函數(shù)(1-z-1)L在0~0.5fs頻率范圍的模值

(1 – z-1)L的模值為[2×sin(π×f/fs)]L，是2×fs的周期函數(shù)。其在零頻率附近的斜率變化與L階冪函數(shù)一致，使得L增大時(shí)在低頻部分殘余的量化噪聲快速下降。每增加一次級(jí)聯(lián)相應(yīng)增加一個(gè)延時(shí)單位，同時(shí)在較高頻率上的傳遞增益快速增加（在f = fs/2處增益為2L）。使用高階結(jié)構(gòu)時(shí)需要插入濾波器控制傳遞增益或者采用高位長(zhǎng)的預(yù)量化器來減小量化噪聲的相對(duì)幅度以防止出現(xiàn)自激。

3 抽取和濾波

過采樣產(chǎn)生的大量數(shù)據(jù)需要在第一時(shí)間壓縮和提取有效部分，以便減小后續(xù)需要處理的數(shù)據(jù)量。這部分處理即抽取（decimation）或退過采樣（down-sample）。具體實(shí)施均采用對(duì)一段時(shí)間內(nèi)采集的數(shù)據(jù)連續(xù)加和獲取平均值的方式來實(shí)現(xiàn)。連續(xù)加和即離散積分的過程，不需要中間數(shù)據(jù)寄存器即可完成。如果一個(gè)時(shí)間片完成后再啟動(dòng)下一個(gè)時(shí)間片，則只有完成一次整時(shí)間片的加和才能看到數(shù)據(jù)的變化，處理延時(shí)長(zhǎng)并且對(duì)變化不能快速響應(yīng)。普遍利用滑動(dòng)平均（moving average or sliding average）在平均樣本數(shù)和快速響應(yīng)間折中。M階的滑動(dòng)平均需要存儲(chǔ)M個(gè)中間數(shù)據(jù)，每輸入一個(gè)新數(shù)據(jù)同時(shí)放棄一個(gè)最老的數(shù)據(jù)，然后以新的M個(gè)數(shù)求取平均值。滑動(dòng)平均僅需要加減操作和桶形結(jié)構(gòu)先入先出寄存器組即可實(shí)現(xiàn)。當(dāng)過采樣比較大時(shí)可能需要采樣分片加和級(jí)聯(lián)多次滑動(dòng)平均的方式減少電路規(guī)模，這時(shí)的每個(gè)處理節(jié)稱為分段預(yù)采樣。分段預(yù)采樣的離散轉(zhuǎn)移關(guān)系為 ，傳輸函數(shù)z域表達(dá)為(1-z-M)/[M×(1-z-1)]。當(dāng)M為1對(duì)應(yīng)分片加和的情況，幅頻響應(yīng)為SINC函數(shù)；M階滑動(dòng)平均相當(dāng)于按M次倍頻嵌套相乘多次SINC函數(shù)，可以改善最低頻的SINC在低頻部分的平坦度和陷波頻率點(diǎn)附近的衰減速度。這種多次嵌套SINC的幅頻圖上可見在最大滑動(dòng)區(qū)間對(duì)應(yīng)的頻率處出現(xiàn)一連串陷波頻率點(diǎn)，因其曲線形狀也被稱為梳狀濾波器[1]。

經(jīng)過梳狀濾波器后數(shù)據(jù)流速率得以降低，而后接入濾波器可以減小濾波電路的規(guī)模。對(duì)于窄帶應(yīng)用的輸入頻率相對(duì)于實(shí)際需要的帶寬仍然可能過高，還是需要利用級(jí)聯(lián)方式將濾波器分節(jié)實(shí)現(xiàn)，以便減小電路規(guī)模。

4 改進(jìn)和變種

使量化噪聲均布，然后利用過采樣和抽取過程減小量化噪聲的基本原理配合多種類型ADC實(shí)現(xiàn)折中的性能改善。以下介紹常見的局部放大（Zoom）Σ-Δ型ADC和基于電荷平衡的殘量繼承電容DAC SAR預(yù)量化Σ-Δ型ADC。

4.1 局部放大（Zoom）Σ-Δ型ADC

利用其它高速或中速ADC，例如采用SAR ADC，快速預(yù)量化輸入模擬量后，將預(yù)量化結(jié)果快速帶入抽取和濾波邏輯，以預(yù)量化值為起點(diǎn)可以加快向更精確量化結(jié)果的收斂速度。如果只是用來預(yù)置收斂過程的起點(diǎn)，Σ-Δ調(diào)制器的輸出擺幅不變，調(diào)制器部分的時(shí)間預(yù)算不會(huì)降低。

將預(yù)量化結(jié)果利用DAC還原為模擬量，將輸入減掉還原模擬量得到一個(gè)差值，將此差值送入一個(gè)Σ-Δ型ADC則可以使Σ-Δ調(diào)制器只作用在差值所對(duì)應(yīng)的局部。此實(shí)現(xiàn)方式的ADC即局部放大（Zoom）Σ-Δ型ADC，原理圖見圖 12。

圖 12 局部放大（Zoom）Σ-Δ型ADC的原理

局部放大型ADC適合要求對(duì)局部做高精度解析的應(yīng)用，例如在大尺度測(cè)量時(shí)獲取以節(jié)距為參考的定位，以及測(cè)量圍繞某個(gè)中心值的弛豫過程。在這些應(yīng)用中節(jié)距或者中心值的精度要求與圍繞節(jié)距和中心值的變化的精細(xì)要求不同，需要局部放大和量化。從動(dòng)態(tài)范圍角度看，局部放大的獲益局限于其Σ-Δ ADC所處理的局部；全局的量化特性受預(yù)量化ADC和還原DAC的制約。局部放大型ADC可以快速輸出預(yù)量化值，用于節(jié)距定位，也能以慢速Σ-Δ型ADC的方式獲得精細(xì)解析結(jié)果。

4.2 殘量繼承電容DAC SAR預(yù)量化Σ-Δ型ADC[4][5][6]

利用電荷平衡型的電容DAC做SAR型ADC時(shí)，完成逐次逼近的節(jié)拍后、權(quán)電容陣列上會(huì)殘留一個(gè)或正或負(fù)的電壓。這個(gè)電壓對(duì)應(yīng)一個(gè)電荷殘量，如果將這個(gè)殘量帶入下次量化，則相當(dāng)于實(shí)現(xiàn)了量化噪聲調(diào)制。相對(duì)于圖 2所示或產(chǎn)品例MAX110/111的脈寬計(jì)數(shù)預(yù)量化和量化噪聲調(diào)制，殘量繼承可以快速實(shí)現(xiàn)殘量調(diào)制和預(yù)量化，其整體電路結(jié)構(gòu)也比前述局部放大型的結(jié)構(gòu)緊湊。在這種結(jié)構(gòu)方案中，預(yù)量化和殘量調(diào)制是同一個(gè)過程的兩個(gè)結(jié)果，是最快的噪聲調(diào)制方式。對(duì)一次預(yù)量化而言，殘量在一個(gè)量化臺(tái)階內(nèi)是均布的；從多次量化間逐次繼承來看，該殘量的累積影響了下次變換結(jié)果，即在SAR ADC結(jié)果中包含了一個(gè)積分ADC作用。當(dāng)除量化噪聲外的其它噪聲影響不大時(shí)，積分型量化變換的分辨率與積分時(shí)間成正比。以過采樣倍數(shù)n來表達(dá)，殘量繼承預(yù)量化對(duì)位長(zhǎng)改善能力在n1/2~n之間，高于單純以隨機(jī)噪聲所做的測(cè)算。

參考圖 12所示的原理，SAR量化結(jié)束后的殘量即該次采樣與該次量化還原值之間的差值。與局部放大型(Zoom)相比，每次量化的還原值可能是不同的（因量化噪聲之外的擾動(dòng)）。這導(dǎo)致預(yù)量化結(jié)果的變動(dòng)，使預(yù)量化的微分非線性影響進(jìn)入差值。這個(gè)影響同樣會(huì)經(jīng)過抽取濾波過程被均化和減小。進(jìn)一步地，如果有意隨機(jī)地提前結(jié)束逐次逼近，可將殘值擴(kuò)大到多個(gè)位，進(jìn)而利用抽取濾波在多個(gè)位之間均化其微分非線性的影響。

參考資料

[1] Philips E. Allen, Douglas R. Holberg. CMOS Analog Circuit Design[M]. 2nd ed. Oxford University Press, Inc., U.S.A., 2002.

[2] Analog Devices, Inc. MAX110/MAX111 Data Sheet[EB/OL]. (1998-11). https://www.analog.com/media/cn/technical-documentation/data-sheets/1018.pdf.

[3] Shanthi Pavan, Richard Shreier, Gabor C. Temes, Understanding Delta-sigma Data Converters[M]. 2nd ed. Wiley-IEEE Press，2017.

[4] 雷鑑銘，劉佳明，馬常樂，譚磊，白瑋. 一種基于殘量累加電荷的逐次逼近型數(shù)模轉(zhuǎn)換器：202210664014.8[P]. 2022-06-13.

[5] 譚磊. 一種模數(shù)轉(zhuǎn)換器及其操作方法：202111617749.7[P]. 2021-12-27.

[6] 白瑋，譚磊，于翔，謝程益. 模數(shù)轉(zhuǎn)換器：202111597874.6[P]. 2021-12-24.

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